Правила и формулы дифференцирования

Таблица производных элементарных функций и правила дифференцирования суммы, произведения, частного и сложной функции

От определения — к удобным правилам

Находить производную по определению — через предел разностного отношения — каждый раз долго. На практике пользуются готовой таблицей производных элементарных функций и правилами, которые позволяют находить производную любой комбинации этих функций (суммы, произведения, частного, сложной функции), не возвращаясь всякий раз к пределам.

Таблица производных основных элементарных функций

Правило дифференцирования суммы и разности

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) их производных:

$\left(f\pm g\right)\text{'}=f\text{'}\pm g\text{'}$

Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (C·f)' = C·f'. Например, (3x² + 5x − 7)' = 3·2x + 5·1 − 0 = 6x + 5.

Правило дифференцирования произведения

Производная произведения двух функций вычисляется не как произведение производных, а по формуле:

$\left(f·g\right)\text{'}=f\text{'}·g+f·g\text{'}$

Пример. Найдите производную функции y = x²·sin x.

$y\text{'}=\left(x^2\right)\text{'}·sinx+x^2·\left(sinx\right)\text{'}=2x·sinx+x^2·cosx$

Правило дифференцирования частного

Для частного двух функций (при g(x) ≠ 0):

$\left(\frac{f}{g}\right)\text{'}=\frac{\left(f\text{'}·g-f·g\text{'}\right)}{g^2}$

Пример. Найдите производную функции y = sin x / x.

$y\text{'}=\frac{\left(cosx·x-sinx·1\right)}{x^2}=\frac{\left(x·cosx-sinx\right)}{x^2}$

Производная сложной функции (правило цепочки)

Если y = f(g(x)) — сложная функция (композиция функций f и g), то её производная равна произведению производной внешней функции (по промежуточному аргументу) на производную внутренней функции:

$\left(f\left(g\left(x\right)\right)\right)\text{'}=f\text{'}\left(g\left(x\right)\right)·g\text{'}\left(x\right)$

Неформально: «берём производную от внешней функции, оставляя внутреннюю как есть, и умножаем на производную внутренней». Пример. Найдите производную функции y = sin(5x² + 1).

Внешняя функция — синус, внутренняя — 5x²+1. Производная синуса — косинус (от того же аргумента), производная внутренней функции — 10x:

$y\text{'}=cos\left({5x}^2+1\right)·10x=10x·cos\left({5x}^2+1\right)$

Правило цепочки обобщается на композицию из трёх и более функций: производные последовательно перемножаются, «раскручивая» функцию слой за слоем от внешнего к внутреннему.

Комбинированный пример

Условие. Найдите производную функции y = x²·e^(3x).

Решение. Это произведение функций u=x² и v=e^(3x), где для v применяется ещё и правило цепочки: (e^(3x))' = e^(3x)·3.

$y\text{'}={2x·e}^{3x}+x^2{·3e}^{3x}=e^{3x}·\left(2x+{3x}^2\right)={x·e}^{3x}·\left(2+3x\right)$

Вывод правила дифференцирования произведения

Полезно понимать, откуда берётся правило (f·g)' = f'g + fg', а не просто запоминать его. По определению производной:

$\left(fg\right)\text{'}\left(x\right)=\frac{lim\left(h\to 0\right)\left[f\left(x+h\right)g\left(x+h\right)-f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}{h}$

Прибавим и вычтем в числителе слагаемое f(x+h)g(x):

$=\frac{lim\left(h\to 0\right)\left\{f\left(x+h\right)\left[g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\left[f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right]\right\}}{h}$

Разобьём на два слагаемых и воспользуемся тем, что f(x+h)→f(x) при h→0 (в силу непрерывности f):

$=f\left(x\right)·g\text{'}\left(x\right)+g\left(x\right)·f\text{'}\left(x\right)$

Аналогичным образом (через определение производной и алгебраические преобразования) можно вывести и остальные правила, включая правило цепочки и производную частного.

Производная обратной функции

Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=f⁻¹(y), и обе они дифференцируемы, то их производные связаны соотношением:

$\left(f^{-1}\right)\text{'}\left(y\right)=\frac{1}{f\text{'}\left(x\right)},гдеy=f\left(x\right)$

Этот факт, в частности, используется при выводе табличной производной логарифма из производной показательной функции (поскольку логарифм — функция, обратная к показательной).

Логарифмическое дифференцирование

Для функций вида y=u(x)^(v(x)), где и основание, и показатель зависят от x (например, y=xˣ), обычные правила дифференцирования степенной или показательной функции неприменимы напрямую. В таких случаях используют приём логарифмического дифференцирования: берут натуральный логарифм от обеих частей равенства, дифференцируют полученное равенство (пользуясь правилом цепочки и производной произведения), а затем выражают искомую производную.

Пример. Найдите производную функции y = xˣ (x>0).

Прологарифмируем: ln y = x·ln x. Продифференцируем обе части по x, помня, что y — функция от x (слева применяется правило цепочки):

$\frac{y\text{'}}{y}=lnx+x·\left(\frac{1}{x}\right)=lnx+1$

Отсюда y' = y·(ln x + 1) = xˣ·(ln x + 1).

Производные высших порядков

Производную от производной называют второй производной и обозначают f''(x) (или y''). Аналогично определяются производные третьего и более высоких порядков. Физический смысл второй производной пути по времени — ускорение: a(t) = s''(t). Вторая производная также играет ключевую роль при исследовании выпуклости графика функции.

Ещё один комбинированный пример

Условие. Найдите производную функции y = ln(cos x).

Решение. Это сложная функция: внешняя — натуральный логарифм, внутренняя — cos x. По правилу цепочки:

$y\text{'}=\frac{1}{\left(cosx\right)·\left(-sinx\right)}=-tgx$

Условие. Найдите производную функции y = (2x+1)⁵.

Решение. Внешняя функция — возведение в пятую степень, внутренняя — 2x+1. Производная внешней по степенной формуле — 5u⁴, производная внутренней — 2:

$y\text{'}=5{\left(2x+1\right)}^4·2=10{\left(2x+1\right)}^4$

Типичные ошибки

Самая распространённая ошибка при дифференцировании произведения — считать, что (f·g)' = f'·g' (производная произведения — это НЕ произведение производных). Аналогично при дифференцировании сложной функции часто забывают умножить на производную внутренней функции: например, ошибочно пишут (sin 3x)' = cos 3x, забывая множитель 3, тогда как верно (sin 3x)' = 3cos 3x. Чтобы не ошибиться, полезно всегда явно выделять внешнюю и внутреннюю функции перед дифференцированием.

Краткий словарь терминов

Табличная производная — производная элементарной функции, известная из стандартной таблицы производных.

Правило цепочки — формула для производной сложной функции: производная внешней функции умножается на производную внутренней.

Сложная функция — функция, полученная подстановкой одной функции в качестве аргумента другой: y=f(g(x)).

Вторая производная — производная от производной функции, f''(x)=(f'(x))'.

Заключение

Таблица производных вместе с четырьмя правилами — суммы, произведения, частного и сложной функции — позволяет продифференцировать практически любую элементарную функцию, встречающуюся в школьном курсе, без обращения к пределам. Эти инструменты — рабочая основа для всех последующих тем анализа: исследования функций на монотонность, экстремумы и построения графиков.