Вывод формулы, алгоритм составления уравнения касательной и разобранные примеры
Напоминание: что такое касательная
Как было показано в статье о производной, касательная к графику функции y=f(x) в точке M(x₀; f(x₀)) — это предельное положение секущей, проходящей через M и близкую к ней точку графика. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: k = f'(x₀).
Вывод уравнения касательной
Уравнение любой прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x₀; y₀), имеет вид y = y₀ + k(x − x₀). Подставляя y₀=f(x₀) и k=f'(x₀), получаем уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀:
Это одна из самых часто используемых формул курса: она связывает значение функции, значение её производной и координаты точки касания в единое уравнение прямой.
Алгоритм составления уравнения касательной
Чтобы составить уравнение касательной к графику y=f(x) в точке x₀, нужно выполнить четыре шага: 1) вычислить f(x₀) — значение функции в точке касания; 2) найти производную f'(x) и вычислить f'(x₀) — угловой коэффициент; 3) подставить найденные значения в формулу y = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀); 4) при необходимости раскрыть скобки и привести уравнение к виду y = kx + b.
Пример 1: касательная в заданной точке
Условие. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ − 3x в точке x₀ = 1,5 (см. рис. 1).
Решение. Вычислим значение функции в точке касания:
Найдём производную и её значение в точке касания:
Подставим в формулу уравнения касательной:
Пример 2: касательная, проходящая через точку вне графика
Более сложный тип задачи: найти уравнение касательной, проходящей через заданную точку, которая на графике функции не лежит. Здесь x₀ (абсцисса точки касания) неизвестна и её нужно найти из дополнительного условия.
Условие. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x², проходящей через точку A(1; −3), не принадлежащую графику.
Решение. Пусть x₀ — абсцисса (пока неизвестной) точки касания. Уравнение касательной в общем виде:
Поскольку касательная должна проходить через точку A(1; −3), подставим x=1, y=−3 в это уравнение и найдём x₀:
Получилось два значения x₀ — значит, через точку A проходят две различные касательные к параболе. Подставим каждое значение в уравнение касательной:
Обе прямые проходят через точку A(1; −3) — легко проверить подстановкой: 6·1−9=−3 и −2·1−1=−3.
Уравнение нормали
Прямую, проходящую через точку касания перпендикулярно касательной, называют нормалью к графику функции в этой точке. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением k₁·k₂ = −1, угловой коэффициент нормали равен −1/f'(x₀) (при условии f'(x₀)≠0), и уравнение нормали имеет вид:
Пример. Составьте уравнение нормали к графику f(x)=x² в точке x₀=1. Здесь f(1)=1, f'(x)=2x, f'(1)=2, поэтому уравнение нормали: y = 1 − (1/2)(x−1) = −0,5x + 1,5.
Угол между двумя кривыми
Угол между двумя кривыми в точке их пересечения определяют как угол между касательными к этим кривым, проведёнными в этой точке. Если угловые коэффициенты касательных равны k₁ и k₂, угол φ между ними находят по формуле для угла между прямыми:
В частности, если k₁·k₂ = −1, кривые пересекаются под прямым углом (ортогонально).
Угол между касательной и осью Ox
Поскольку угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси Ox, справедливо равенство k = f'(x₀) = tg α. Это позволяет по значению производной находить угол наклона касательной (и наоборот — по заданному углу находить точки, в которых касательная имеет такой наклон, решая уравнение f'(x)=tg α).
Условие параллельности и перпендикулярности касательных
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Поэтому касательная к графику f(x) в точке x₀ параллельна прямой y=kx+b тогда и только тогда, когда f'(x₀)=k — это часто встречающийся тип задачи: «найдите точки графика, в которых касательная параллельна данной прямой», решаемый как уравнение f'(x)=k относительно x.
Пример на параллельность касательной и прямой
Условие. В какой точке графика функции f(x)=x²−4x+5 касательная параллельна прямой y=2x−3?
Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен 2. Касательная параллельна ей там, где f'(x)=2:
Найдём ординату точки касания: f(3)=9−12+5=2. Значит, искомая точка — (3; 2), а уравнение касательной в ней: y = 2 + 2(x−3) = 2x − 4.
Типичные ошибки
Частая ошибка — путать точку касания с произвольной точкой на прямой: в формуле y=f(x₀)+f'(x₀)(x−x₀) значение x₀ обязательно должно быть абсциссой именно той точки графика, где производится касание, а не любой точки, через которую проходит касательная (как показано в примере 2, если точка не лежит на графике, x₀ нужно находить отдельно, решая дополнительное уравнение). Другая ошибка — забывать, что уравнение касательной линейно только по x, а f(x₀) и f'(x₀) — это конкретные числа, а не переменные.
Краткий словарь терминов
Точка касания — точка графика функции, в которой к нему проведена касательная.
Уравнение касательной — y = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀) — уравнение прямой, касающейся графика функции в точке x₀.
Угловой коэффициент касательной — значение производной функции в точке касания, k=f'(x₀).
Заключение
Уравнение касательной y = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀) объединяет значение функции и значение её производной в точке. Для составления уравнения достаточно найти f(x₀) и f'(x₀) и подставить их в формулу; более сложные задачи (касательная через внешнюю точку, касательная, параллельная данной прямой) сводятся к дополнительному уравнению относительно неизвестной абсциссы точки касания x₀.
