Производная функции

Определение, физический и геометрический смысл производной

Приращение функции и приращение аргумента

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Дадим аргументу приращение h (h ≠ 0), то есть перейдём от x₀ к x₀+h. Тогда значение функции изменится на величину, называемую приращением функции:

$\Delta f=f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)$

Отношение приращения функции к приращению аргумента Δf/h называют разностным отношением. Именно поведение этого отношения при h→0 лежит в основе определения производной.

Определение производной

Производной функции f в точке x₀ называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю (если этот предел существует):

$f\text{'}\left(x_0\right)=\frac{lim\left(h\to 0\right)\left[f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)\right]}{h}$

Если этот предел существует и конечен, функцию называют дифференцируемой в точке x₀. Операцию нахождения производной называют дифференцированием. Наряду с обозначением f'(x) используют также обозначения y', dy/dx, df/dx.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y=f(x) и точку M(x₀; f(x₀)) на нём. Возьмём ещё одну точку графика N(x₀+h; f(x₀+h)) и проведём через M и N прямую — секущую. Её угловой коэффициент равен как раз разностному отношению [f(x₀+h)−f(x₀)]/h. Когда точка N движется по графику к точке M (то есть h→0), секущая поворачивается и стремится занять предельное положение — касательную к графику в точке M (см. рис. 1).

Отсюда — геометрический смысл производной: значение производной f'(x₀) равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке с абсциссой x₀:

$k=f\text{'}\left(x_0\right)=tg\alpha$

где α — угол между касательной и положительным направлением оси Ox.

Физический смысл производной

Если s(t) — закон движения тела (зависимость пройденного пути или координаты от времени), то разностное отношение [s(t₀+h)−s(t₀)]/h представляет собой среднюю скорость движения за промежуток времени от t₀ до t₀+h. Предел этого отношения при h→0 — это мгновенная скорость в момент t₀:

$v\left(t_0\right)=s\text{'}\left(t_0\right)$

Аналогично, производная скорости по времени — это ускорение: a(t) = v'(t). В общем случае производная функции показывает мгновенную скорость изменения величины, описываемой этой функцией: скорость роста численности популяции, скорость химической реакции, скорость изменения температуры и так далее — в любой области, где одна величина зависит от другой, производная измеряет темп этой зависимости.

Немного истории

Понятие производной было независимо разработано в конце XVII века английским учёным Исааком Ньютоном и немецким математиком Готфридом Лейбницем. Ньютон пришёл к нему из задач механики (отсюда — физический смысл производной как скорости), а Лейбниц — из геометрических задач о касательных (отсюда — геометрический смысл и удобное обозначение dy/dx, которым мы пользуемся до сих пор). Спор о первенстве открытия между сторонниками Ньютона и Лейбница продолжался десятилетиями, однако сегодня очевидно, что оба пришли к одной и той же идее разными путями, и обе точки зрения — геометрическая и физическая — одинаково важны для понимания производной.

Производные слева и справа

Аналогично односторонним пределам, различают левую и правую производные — пределы разностного отношения при h→0 только с одной стороны. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда левая и правая производные существуют и равны между собой. Это уточнение важно для кусочно заданных функций и функций с изломами графика: например, у функции f(x)=|x| в точке x=0 правая производная равна 1, а левая равна −1 — они не совпадают, поэтому производной в этой точке не существует, несмотря на то что функция там непрерывна.

Дифференциал функции

С производной тесно связано понятие дифференциала — главной, линейной части приращения функции. Дифференциал определяют как df = f'(x)·dx, где dx — приращение аргумента. Дифференциал даёт удобное приближение: при малом приращении h приращение функции приблизительно равно её дифференциалу, Δf ≈ f'(x₀)·h, что позволяет быстро оценивать, как изменится значение функции при небольшом изменении аргумента, не вычисляя точное новое значение.

Дифференцируемость и непрерывность

Если функция дифференцируема в точке, то она обязательно непрерывна в этой точке (это следует из того, что существование конечного предела разностного отношения гарантирует Δf→0 при h→0). Обратное неверно: например, функция f(x)=|x| непрерывна в точке x=0, но не дифференцируема в ней — график имеет «излом», и касательную в этой точке провести нельзя (у графика разные предельные положения секущей слева и справа от нуля).

Производная по определению: пример

Условие. Пользуясь определением, найдите производную функции f(x)=x² в точке x₀.

Решение. Составим приращение функции:

$\Delta f=f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)={\left(x_0+h\right)}^2-x_0^2={2x}_{0}h+h^2$

Составим разностное отношение и найдём его предел:

$\frac{\Delta f}{h}=\frac{\left({2x}_{0}h+h^2\right)}{h}={2x}_0+h\to f\text{'}\left(x_0\right)=lim\left(h\to 0\right)\left({2x}_0+h\right)={2x}_0$

Таким образом, (x²)' = 2x — этот результат совпадает с табличной формулой производной степенной функции, которая будет рассмотрена в следующей статье.

Ещё один пример: физический смысл

Условие. Тело движется по закону s(t) = t² + 3t (s — в метрах, t — в секундах). Найдите скорость тела в момент t=2 с.

Решение. Скорость — это производная пути по времени: v(t) = s'(t) = 2t+3 (по формуле, полученной в предыдущем примере, применённой почленно). При t=2:

$v\left(2\right)=2·2+3=\frac{7м}{с}$

Пример: составление производной по графику

На практике нередко встречаются задачи, где нужно определить значение производной не вычислением по формуле, а по изображённой на графике касательной. Условие. На рисунке 1 показана касательная к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀=1, проходящая также через точку (2,5; 0). Определите f'(1).

Решение. Значение производной равно угловому коэффициенту этой касательной. Если известны две точки прямой — точка касания (1; f(1)) и точка пересечения с осью Ox (2,5; 0), — угловой коэффициент находят как отношение разности ординат к разности абсцисс. Такой тип задач регулярно встречается в экзаменационных материалах и требует только внимательного считывания координат отмеченных точек с рисунка и применения формулы углового коэффициента прямой по двум точкам.

Типичные ошибки

Распространённая ошибка — путать среднюю скорость изменения функции (отношение приращения функции к приращению аргумента на конечном промежутке) с мгновенной скоростью (производной, пределом этого отношения при стремлении промежутка к нулю). Это разные величины: средняя скорость характеризует весь промежуток целиком, а производная — только одно конкретное мгновение. Ещё одна ошибка — считать, что раз функция непрерывна, то она обязательно дифференцируема: как показывает пример с f(x)=|x|, это не так.

Краткий словарь терминов

Приращение функции — изменение значения функции при изменении аргумента: Δf = f(x₀+h) − f(x₀).

Производная — предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Дифференцируемая функция — функция, имеющая конечную производную в данной точке.

Касательная к графику — предельное положение секущей при стремлении второй точки пересечения к первой.

Мгновенная скорость — производная координаты (пути) по времени.

Заключение

Производная — предел разностного отношения f'(x₀) = lim(h→0) [f(x₀+h)−f(x₀)]/h. Геометрически она равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, физически — мгновенной скорости изменения величины. Дифференцируемость в точке влечёт непрерывность в ней, но не наоборот. Эти два толкования производной — геометрическое и физическое — делают её одним из самых универсальных инструментов математики и естественных наук.