Предел функции и непрерывность

Интуитивное представление о пределе, свойства пределов и понятие непрерывности функции

Зачем нужно понятие предела

Производная и интеграл — два центральных понятия математического анализа, изучаемого в 11 классе, — строятся на понятии предела. Предел позволяет строго говорить о том, к какому значению стремится функция, когда её аргумент неограниченно приближается к некоторой точке, даже если сама функция в этой точке не определена или ведёт себя особым образом.

Предел функции в точке: интуитивное определение

Говорят, что число A является пределом функции f(x) при x, стремящемся к x₀, если значения f(x) становятся сколь угодно близкими к A, когда x становится достаточно близким к x₀ (но не равным x₀). Записывают это так:

$l i m (x \to x_{0}) f (x) = A$

Важная особенность: значение предела не зависит от того, определена ли функция в самой точке x₀ и чему равно f(x₀). Предел описывает поведение функции вблизи точки, а не в ней самой.

Односторонние пределы

Если x приближается к x₀ только справа (оставаясь больше x₀), говорят о правостороннем пределе и обозначают его lim (x→x₀+0) f(x). Если x приближается слева — о левостороннем пределе lim (x→x₀−0) f(x). Предел функции в точке существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны между собой:

$l i m (x \to x_{0}) f (x) = A \Leftrightarrow l i m (x \to x_{0} - 0) f (x) = l i m (x \to x_{0} + 0) f (x) = A$

Основные свойства пределов

Если существуют пределы функций f(x) и g(x) при x→x₀, то предел суммы, разности, произведения и (при условии, что предел знаменателя не равен нулю) частного этих функций также существует и вычисляется почленно:

$l i m (f \pm g) = l i m f \pm l i m g; l i m (f \cdot g) = l i m f \cdot l i m g; l i m (\frac{f}{g}) = \frac{l i m f}{l i m g (l i m g \neq 0)}$

Эти свойства позволяют находить пределы многих функций простой подстановкой значения x₀, если функция в этой точке непрерывна (см. ниже). Например, lim (x→2) (x² + 3x) = 4 + 6 = 10.

Раскрытие неопределённостей

Иногда прямая подстановка x₀ даёт неопределённость вида 0/0 или ∞/∞ — это означает, что предел нужно искать другим способом: разложением на множители, сокращением, домножением на сопряжённое выражение. Например:

$\frac{l i m (x \to 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3)} = \frac{l i m (x \to 3) (x - 3) (x + 3)}{(x - 3)} = l i m (x \to 3) (x + 3) = 6$

Здесь прямая подстановка x=3 давала бы 0/0, но после сокращения общего множителя (x−3) неопределённость исчезает.

Ещё один способ раскрытия неопределённости: умножение на сопряжённое

Когда в выражении есть квадратный корень, разложить на множители напрямую не получается — тогда числитель и знаменатель домножают на выражение, сопряжённое иррациональному, чтобы применить формулу разности квадратов и избавиться от корня.

Пример. Найдите lim (x→0) (√(x+4) − 2)/x.

Подстановка x=0 даёт 0/0. Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √(x+4)+2:

$\frac{l i m (x \to 0) [(\sqrt{x + 4} - 2) (\sqrt{x + 4} + 2)]}{[x \cdot (\sqrt{x + 4} + 2)]} = \frac{l i m (x \to 0) (x + 4 - 4)}{[x \cdot (\sqrt{x + 4} + 2)]}$

После сокращения на x в числителе и знаменателе остаётся:

$\frac{l i m (x \to 0) 1}{(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{(2 + 2)} = \frac{1}{4}$

Пределы на бесконечности

Наряду с пределом в конечной точке рассматривают и предел функции при x, стремящемся к бесконечности: lim (x→+∞) f(x) и lim (x→−∞) f(x). Он описывает, к какому значению приближается функция при неограниченном увеличении (уменьшении) аргумента. Для рациональных дробей (отношения многочленов) существует удобный приём: числитель и знаменатель делят на старшую степень x, входящую в знаменатель.

Пример. Найдите lim (x→∞) (3x²+2x−1)/(5x²−x+4).

Разделим числитель и знаменатель на x²:

$\frac{l i m (x \to \infty) (3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}})}{(5 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^{2}})} = \frac{3}{5}$

Так как слагаемые вида 2/x, 1/x², 1/x и 4/x² стремятся к нулю при x→∞. Общее правило для отношения многочленов: если степени числителя и знаменателя равны, предел на бесконечности равен отношению старших коэффициентов; если степень числителя меньше степени знаменателя, предел равен нулю; если степень числителя больше, предел равен бесконечности (со знаком, зависящим от коэффициентов).

Первый замечательный предел

Отдельного упоминания заслуживает предел, который нельзя получить ни подстановкой, ни алгебраическими преобразованиями, но который постоянно встречается при работе с тригонометрическими функциями, — первый замечательный предел:

$\frac{l i m (x \to 0) (s i n x)}{x} = 1$

Он показывает, что при малых x значения sin x и x практически неотличимы, и часто используется как готовый «строительный блок» при вычислении более сложных пределов, например: lim (x→0) (sin 5x)/x = lim (x→0) 5·(sin 5x)/(5x) = 5·1 = 5 (здесь использована замена 5x = t, при которой t→0 вместе с x).

Непрерывность функции в точке

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются три условия: функция определена в точке x₀, существует предел функции при x→x₀, и этот предел равен значению функции в точке:

$l i m (x \to x_{0}) f (x) = f (x_{0})$

Если хотя бы одно из условий нарушено, точку x₀ называют точкой разрыва функции. На рисунке 1 показан пример: предел функции при x→2 существует и равен 3, но значение самой функции в точке 2 равно 4 — условие непрерывности нарушено, и x=2 является точкой разрыва (такой разрыв называют устранимым, поскольку его можно «убрать», переопределив f(2)=3).

*Рис. 1. Предел функции в точке x=2 равен 3, а значение функции f(2)=4 — функция разрывна в этой точке.*

Непрерывность на промежутке. Элементарные функции

Функция называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой его точке. Все элементарные функции — многочлены, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические — непрерывны в каждой точке своей области определения. Это фундаментальный факт: он означает, что для вычисления предела элементарной функции в точке её области определения достаточно просто подставить это значение аргумента.

Непрерывные на отрезке функции обладают важными свойствами, которые используются в дальнейшем изучении анализа: например, непрерывная на отрезке [a; b] функция обязательно достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса), а если на концах отрезка она принимает значения разных знаков, то где-то внутри отрезка функция обращается в нуль (теорема Больцано — Коши). Эти факты лежат в основе, например, метода интервалов при решении неравенств.

Пример решения задачи

Условие. Найдите lim (x→1) (x³−1)/(x−1).

Решение. Прямая подстановка x=1 даёт неопределённость 0/0. Разложим числитель по формуле разности кубов:

$x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$

Тогда:

$\frac{l i m (x \to 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1)} = l i m (x \to 1) (x^{2} + x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3$

Пример на предел при x → ∞

Условие. Найдите lim (x→∞) (2x³ − x)/(x⁴ + 1).

Решение. Степень числителя (3) меньше степени знаменателя (4), поэтому по общему правилу предел равен нулю. Убедимся в этом делением на x⁴:

$\frac{l i m (x \to \infty) (\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}})}{(1 + \frac{1}{x^{4}})} = \frac{0}{1} = 0$

Типичные ошибки

Частая ошибка — подставлять x₀ в функцию, даже когда это даёт неопределённость 0/0 или ∞/∞, и делать вывод, что предела не существует. На самом деле неопределённость означает лишь, что нужно преобразовать выражение (разложить на множители, сократить, домножить на сопряжённое) — почти всегда после этого предел вычисляется элементарно. Другая частая ошибка — путать предел функции в точке со значением функции в этой точке: как показывает рисунок 1, это два разных числа, если функция разрывна.

Краткий словарь терминов

Предел функции — число, к которому неограниченно приближаются значения функции при приближении аргумента к заданной точке.

Односторонний предел — предел функции при приближении аргумента к точке только с одной стороны (слева или справа).

Непрерывность в точке — совпадение предела функции в точке с её значением в этой точке.

Точка разрыва — точка, в которой нарушается хотя бы одно из условий непрерывности функции.

Неопределённость — выражение вида 0/0 или ∞/∞, возникающее при прямой подстановке и требующее преобразования функции для вычисления предела.

Заключение

Понятие предела — фундамент математического анализа: с его помощью строго определяются непрерывность функции, производная и интеграл. Ключевое умение этой темы — вычислять пределы, раскрывая неопределённости 0/0 разложением на множители или сокращением, и проверять непрерывность функции по трём условиям: определённость в точке, существование предела и их равенство.