Свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур

Колебательный контур, формула Томсона, превращения энергии, аналогия с механическими колебаниями

Колебательный контур

Колебательным контуром называют электрическую цепь, состоящую из конденсатора ёмкостью C и катушки индуктивностью L, соединённых между собой (см. рис. схематично описан ниже). Если заряженный конденсатор подключить к катушке, в контуре возникают свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда конденсатора, силы тока в катушке и напряжённостей электрического и магнитного полей.

Физический механизм колебаний

Рассмотрим процесс качественно. В начальный момент конденсатор заряжен до максимального заряда q_m, тока в цепи нет. Конденсатор начинает разряжаться через катушку, в цепи возникает нарастающий ток; из-за самоиндукции этот ток нарастает не мгновенно, а постепенно. Когда конденсатор полностью разрядится, ток достигает максимального значения I_m, а вся энергия электрического поля конденсатора перешла в энергию магнитного поля катушки. Далее ток, поддерживаемый самоиндукцией, продолжает течь в том же направлении, перезаряжая конденсатор до противоположной полярности; при этом ток убывает, а заряд конденсатора нарастает, пока весь ток не прекратится, а вся энергия снова не окажется в конденсаторе (но уже с противоположной полярностью). Затем процесс повторяется в обратном направлении — так возникают периодические колебания.

Превращения энергии в колебательном контуре

В идеальном колебательном контуре (без электрического сопротивления) полная энергия сохраняется и непрерывно перераспределяется между энергией электрического поля конденсатора и энергией магнитного поля катушки:

$W = W_{э л} + W_{м а г н} = \frac{q^{2}}{2 C} + \frac{L \cdot i^{2}}{2} = c o n s t$

В моменты максимального заряда конденсатора вся энергия сосредоточена в электрическом поле (W=q_m²/(2C), ток равен нулю); в моменты максимального тока вся энергия сосредоточена в магнитном поле (W=L·I_m²/2, заряд конденсатора равен нулю). Этот процесс непрерывного взаимного превращения энергии полностью аналогичен превращению потенциальной энергии в кинетическую и обратно при колебаниях пружинного маятника.

Колебания энергии электрического поля конденсатора (~q²) и энергии магнитного поля катушки (~i²) в идеальном колебательном… — Рис. 1. Колебания энергии электрического поля конденсатора (~q²) и энергии магнитного поля катушки (~i²) в идеальном колебательном контуре — сумма энергий постоянна.

Уравнение колебаний заряда

Заряд конденсатора в идеальном колебательном контуре изменяется по гармоническому закону:

$q (t) = q_{m} \cdot c o s (ω t + φ_{0})$

где ω — циклическая частота свободных колебаний контура, φ₀ — начальная фаза, определяемая начальными условиями. Сила тока, будучи производной заряда по времени, также изменяется по гармоническому закону, но со сдвигом фазы на π/2 (четверть периода) относительно заряда:

$i (t) = - I_{m} \cdot s i n (ω t + φ_{0}), I_{m} = ω \cdot q_{m}$

Формула Томсона

Циклическая частота и период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре определяются только его параметрами — индуктивностью L и ёмкостью C — и находятся по формуле Томсона, выведенной ещё в XIX веке английским физиком Уильямом Томсоном (лордом Кельвином):

$ω = \frac{1}{\sqrt{L C}}$

$T = 2 π \sqrt{L C}$

Пример 1: применение формулы Томсона

Условие. Индуктивность катушки колебательного контура равна 0,4 Гн, ёмкость конденсатора — 10 мкФ. Найдите период собственных колебаний контура.

Решение.

$T = 2 π \sqrt{L C} = 2 π \sqrt{0,4 \cdot 10 \cdot 10^{- 6}} = 2 π \sqrt{4 \cdot 10^{- 6}} = 2 π \cdot 2 \cdot 10^{- 3} \approx 0,0126 с$

Пример 2: нахождение ёмкости по заданному периоду

Условие. Колебательный контур настроен на период T=1 мс при индуктивности катушки L=0,1 Гн. Найдите ёмкость конденсатора.

Решение. Из формулы Томсона выразим C:

$C = \frac{T^{2}}{4 π^{2} L} = \frac{{(10^{- 3})}^{2}}{4 π^{2} \cdot 0,1} = \frac{10^{- 6}}{3,95} \approx 2,53 \cdot 10^{- 7} Ф \approx 0,253 м к Ф$

Аналогия с механическими колебаниями

Свободные электромагнитные колебания в контуре математически полностью аналогичны свободным механическим колебаниям пружинного маятника, что удобно представить в виде соответствия величин:

Механические колебания	Электромагнитные колебания
`Координата x`	`Заряд q`
`Скорость v = dx/dt`	`Сила тока i = dq/dt`
`Масса m`	`Индуктивность L`
`Жёсткость пружины k`	`Величина 1/C`
`Кинетическая энергия mv²/2`	`Энергия магнитного поля Li²/2`
`Потенциальная энергия kx²/2`	`Энергия электрического поля q²/(2C)`

Эта аналогия не случайна: дифференциальное уравнение, описывающее заряд в контуре, имеет ту же математическую форму, что и уравнение движения пружинного маятника, отсюда и совпадение формы решений (гармонические колебания) и аналогичная структура формул для частоты: ω=√(k/m) для маятника и ω=1/√(LC) для контура.

Затухающие колебания

Реальный колебательный контур всегда обладает некоторым активным сопротивлением R (сопротивлением проводов катушки и соединений), на котором часть энергии колебаний необратимо превращается в тепло. Из-за этого амплитуда колебаний заряда и тока постепенно уменьшается со временем — такие колебания называют затухающими. Чем больше сопротивление контура, тем быстрее происходит затухание; при достаточно большом сопротивлении колебательный процесс может вовсе не успеть развиться (апериодический разряд конденсатора).

Вынужденные колебания и резонанс в контуре

Если в контур включить источник переменной ЭДС, возникают вынужденные колебания с частотой, равной частоте источника (а не собственной частоте контура). Амплитуда таких колебаний резко возрастает, когда частота источника приближается к собственной частоте контура ω₀=1/√(LC), — это явление электрического резонанса лежит в основе настройки радиоприёмников на нужную частоту вещания (изменением ёмкости конденсатора настраивают собственную частоту контура на частоту принимаемой станции).

Типичные ошибки

Частая ошибка — считать, что ток в контуре максимален одновременно с зарядом конденсатора; на самом деле, как показано на рис. 1, эти величины колеблются со сдвигом фазы в четверть периода, и максимум тока соответствует нулевому заряду конденсатора (и наоборот). Другая ошибка — при использовании формулы Томсона забыть перевести все величины в систему СИ (особенно часто встречающаяся ошибка — не перевести ёмкость из микрофарад в фарады). Также распространена ошибка — считать, что колебания в реальном контуре продолжаются бесконечно с постоянной амплитудой, забывая о неизбежном затухании из-за активного сопротивления.

Краткий словарь терминов

Колебательный контур — цепь из конденсатора и катушки индуктивности, в которой возможны электромагнитные колебания.

Формула Томсона — T=2π√(LC) — период свободных колебаний идеального колебательного контура.

Затухающие колебания — колебания с убывающей амплитудой из-за потерь энергии на активном сопротивлении.

Электрический резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты источника с собственной частотой контура.

Заключение

Колебательный контур — простейшая система, в которой возможны свободные электромагнитные колебания, обусловленные периодическим превращением энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Период этих колебаний определяется формулой Томсона T=2π√(LC), а полная математическая аналогия с механическими колебаниями пружинного маятника делает уже изученные закономерности гармонических колебаний применимыми и здесь.