Самоиндукция. Энергия магнитного поля

Явление самоиндукции, индуктивность, ЭДС самоиндукции, энергия магнитного поля катушки

Явление самоиндукции

Самоиндукцией называют частный случай электромагнитной индукции, при котором изменяющийся магнитный поток, наводящий ЭДС индукции, создаётся собственным током того же самого контура (катушки), а не сторонним источником поля. Когда сила тока в катушке изменяется, изменяется и создаваемый этим током магнитный поток через саму катушку, что по закону Фарадея порождает ЭДС, направленную (согласно правилу Ленца) так, чтобы препятствовать изменению тока, — эту ЭДС называют ЭДС самоиндукции.

Индуктивность

Магнитный поток, создаваемый током в контуре, пропорционален силе этого тока:

$Φ = L \cdot I$

Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью контура (или катушки). Индуктивность зависит от геометрических размеров и формы контура, числа витков (для катушки) и магнитных свойств сердечника, но не зависит от силы тока в контуре — это чисто геометрическая и материальная характеристика. Единица измерения индуктивности — генри (Гн): 1 Гн — это индуктивность контура, в котором при силе тока 1 А создаётся магнитный поток 1 Вб.

Индуктивность соленоида

Для длинного соленоида (катушки) с числом витков N, длиной l, площадью поперечного сечения S, заполненного сердечником с магнитной проницаемостью μ, индуктивность вычисляется по формуле:

$L = \frac{{μ μ}_{0} {\cdot N}^{2} \cdot S}{l}$

где μ₀ — магнитная постоянная. Эта формула показывает, что индуктивность резко увеличивается с ростом числа витков (пропорционально их квадрату) и при использовании ферромагнитного сердечника (за счёт большого значения μ).

ЭДС самоиндукции

Применяя закон Фарадея к собственному потоку контура Φ=L·I, получаем формулу ЭДС самоиндукции (при постоянной индуктивности L):

$ε_{s i} = - \frac{L \cdot Δ I}{Δ t}$

Эта формула показывает, что ЭДС самоиндукции пропорциональна не самой силе тока, а скорости её изменения — чем резче меняется ток (например, при быстром размыкании цепи), тем больше возникающая ЭДС самоиндукции, что может приводить к электрической искре или дуге в месте разрыва контакта.

Пример 1: вычисление ЭДС самоиндукции

Условие. Индуктивность катушки равна 0,5 Гн. Сила тока в ней равномерно уменьшается от 4 А до 1 А за 0,2 с. Найдите ЭДС самоиндукции.

Решение.

$ε_{s i} = \frac{L \cdot | Δ I |}{Δ t} = \frac{0,5 \cdot (4 - 1)}{0,2} = 0,5 \cdot 15 = 7,5 В$

Роль самоиндукции при замыкании и размыкании цепи

При замыкании цепи с катушкой сила тока не может измениться мгновенно (скачком) — самоиндукция препятствует нарастанию тока, и он растёт постепенно, приближаясь к своему установившемуся значению по экспоненциальному закону (см. рис. 1). Аналогично, при размыкании цепи ток не исчезает мгновенно — самоиндукция стремится поддержать его, что и объясняет возникновение искры между размыкаемыми контактами: резкое изменение тока порождает большую ЭДС самоиндукции.

Нарастание силы тока в цепи с индуктивностью при замыкании ключа: ток стремится к установившемуся значению I₀ постепенно, а… — Рис. 1. Нарастание силы тока в цепи с индуктивностью при замыкании ключа: ток стремится к установившемуся значению I₀ постепенно, а не скачком.

Энергия магнитного поля катушки с током

При нарастании тока в катушке источник совершает работу против ЭДС самоиндукции, и эта работа идёт на создание магнитного поля катушки — энергия этого поля запасается в пространстве вокруг катушки и может быть возвращена в цепь при уменьшении тока (например, вызывая искру при размыкании). Энергию магнитного поля катушки с индуктивностью L, по которой течёт ток I, находят по формуле:

$W = \frac{{L \cdot I}^{2}}{2}$

Эта формула по структуре полностью аналогична формуле кинетической энергии тела W=mv²/2, где индуктивность L играет роль «инертности» цепи по отношению к изменению тока, аналогичную роли массы для изменения скорости, а сила тока I — роль скорости.

Пример 2: энергия магнитного поля

Условие. Индуктивность катушки равна 0,2 Гн, сила тока в ней — 3 А. Найдите энергию магнитного поля катушки.

Решение.

$W = \frac{{L \cdot I}^{2}}{2} = \frac{{0,2 \cdot 3}^{2}}{2} = \frac{0,2 \cdot 9}{2} = 0,9 Д ж$

Пример 3: изменение энергии при изменении тока

Условие. Во сколько раз изменится энергия магнитного поля катушки, если силу тока в ней увеличить в 3 раза?

Решение. Поскольку W пропорциональна квадрату силы тока, при увеличении I в 3 раза энергия увеличивается в 3²=9 раз.

$\frac{W_{2}}{W_{1}} = {(\frac{I_{2}}{I_{1}})}^{2} = 3^{2} = 9$

Аналогия между электромагнитными и механическими величинами

Индуктивность в электрических явлениях играет роль, аналогичную массе (инертности) в механике: подобно тому, как масса препятствует мгновенному изменению скорости тела, индуктивность препятствует мгновенному изменению силы тока в цепи. Эта аналогия будет особенно полезна в следующей статье при изучении свободных электромагнитных колебаний в контуре, которые по своей математической структуре полностью аналогичны механическим колебаниям пружинного маятника.

Практическое применение

Катушки индуктивности широко применяются в электротехнике: в фильтрах, сглаживающих пульсации тока, в колебательных контурах радиоприёмников и генераторов, в дросселях, ограничивающих скорость нарастания тока в силовых цепях, а также как элементы, запасающие энергию в импульсных источниках питания. Понимание явления самоиндукции необходимо и для техники безопасности: резкий разрыв цепи с большой индуктивностью (например, обмотки электродвигателя) может создать опасно высокое напряжение самоиндукции.

Типичные ошибки

Частая ошибка — считать, что ЭДС самоиндукции пропорциональна силе тока, а не скорости её изменения; ток может быть большим и постоянным, при этом ЭДС самоиндукции будет равна нулю. Другая ошибка — путать формулы энергии магнитного поля W=LI²/2 и энергии электрического поля конденсатора (которая изучается в следующей статье про колебательный контур) — их структурное сходство (обе квадратичны) не означает идентичности используемых величин. Также распространена ошибка — забывать, что индуктивность зависит от геометрии катушки и сердечника, но не зависит от силы тока, протекающего через неё (при отсутствии ферромагнитного насыщения).

Краткий словарь терминов

Самоиндукция — явление возникновения ЭДС индукции в контуре при изменении силы тока в нём самом.

Индуктивность — L — коэффициент пропорциональности между магнитным потоком контура и силой тока в нём, Φ=LI.

ЭДС самоиндукции — ε_si=−LΔI/Δt — ЭДС, возникающая при изменении силы тока в катушке.

Энергия магнитного поля — W=LI²/2 — энергия, запасённая в магнитном поле катушки с током.

Заключение

Самоиндукция — частный случай электромагнитной индукции, обусловленный изменением собственного магнитного потока контура при изменении силы тока в нём, а индуктивность L — количественная мера способности контура создавать такой поток. Энергия магнитного поля W=LI²/2, запасаемая катушкой с током, играет в электрических цепях роль, аналогичную кинетической энергии в механике, что станет особенно наглядным при рассмотрении свободных электромагнитных колебаний в следующей статье.