Векторы в пространстве

Определение вектора, операции над векторами, координаты вектора, компланарность

Понятие вектора в пространстве

Вектором в пространстве, как и на плоскости, называют направленный отрезок — отрезок, для которого указано, какая из двух его граничных точек является началом, а какая концом. Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают AB (со стрелкой сверху). Длиной (модулем) вектора называют длину отрезка, а нулевым вектором — вектор, начало и конец которого совпадают (его направление считается неопределённым, а длина равна нулю). Все определения и свойства векторов на плоскости, изученные ранее, переносятся на трёхмерное пространство без принципиальных изменений.

*Рис. 1. Сложение векторов a и b по правилу параллелограмма в пространстве.*

Равенство векторов, коллинеарность

Два вектора называют равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и имеют равные длины — при этом неважно, где именно в пространстве расположены их начала. Векторы называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Ненулевые векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число k такое, что a=k·b.

Сложение и вычитание векторов

Сложение векторов в пространстве выполняется по тем же правилам, что и на плоскости — правилу треугольника (конец первого вектора совмещается с началом второго, а суммой служит вектор от начала первого до конца второго) или правилу параллелограмма (для векторов с общим началом). Правило многоугольника обобщает правило треугольника на сумму нескольких векторов: если конец каждого предыдущего вектора совмещён с началом следующего, суммой служит вектор, соединяющий начало первого с концом последнего.

$A B + B C = A C (п р а в и л о т р е у г о л ь н и к а)$

Вычитание векторов определяется как действие, обратное сложению: разностью a−b называют такой вектор c, что b+c=a. Правило треугольника для вычитания: если векторы a и b отложены от одной точки, их разность a−b — вектор, идущий из конца b в конец a.

Умножение вектора на число

Произведением вектора a на число k называют вектор k·a, длина которого равна |k|·|a|, направление совпадает с направлением a при k>0 и противоположно ему при k<0 (при k=0 произведение — нулевой вектор). Умножение на число обладает обычными алгебраическими свойствами: k(a+b)=ka+kb, (k+m)a=ka+ma, k(ma)=(km)a.

Координаты вектора в пространстве

Если ввести в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz, любой вектор a можно единственным образом разложить по базисным векторам i, j, k (единичным векторам вдоль осей): a=xi+yj+zk. Числа x, y, z называют координатами вектора и записывают a={x;y;z}. Если начало вектора — точка A(x₁;y₁;z₁), а конец — точка B(x₂;y₂;z₂), координаты вектора AB находят как разность координат конца и начала:

$A B = {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1}}$

Действия над векторами в координатах

При сложении, вычитании векторов и умножении вектора на число соответствующие операции выполняются покоординатно:

$a \pm b = {x_{1} \pm x_{2}; y_{1} \pm y_{2}; z_{1} \pm z_{2}}$

$k \cdot a = {k x; k y; k z}$

Длина вектора через его координаты вычисляется по формуле, обобщающей теорему Пифагора на три измерения (аналогично формуле диагонали прямоугольного параллелепипеда):

$| a | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Пример 1: координаты и длина вектора

Условие. Даны точки A(1;−2;3) и B(4;2;−1). Найдите координаты и длину вектора AB.

Решение.

$A B = {4 - 1; 2 - (- 2); - 1 - 3} = {3; 4; - 4}$

$| A B | = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + {(- 4)}^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41}$

Пример 2: действия над векторами в координатах

Условие. Даны векторы a={2;−1;3} и b={−1;4;2}. Найдите координаты вектора 2a−3b.

Решение.

$2 a = {4; - 2; 6}; 3 b = {- 3; 12; 6}$

$2 a - 3 b = {4 - (- 3); - 2 - 12; 6 - 6} = {7; - 14; 0}$

Компланарные векторы

Три вектора называют компланарными, если, будучи отложенными от одной точки, они лежат в одной плоскости (или параллельны одной плоскости). Компланарность — понятие, специфичное именно для пространства (для двух векторов вопрос о компланарности не имеет смысла, поскольку любые два вектора всегда лежат в одной плоскости). Признак компланарности: если вектор c можно представить в виде c=αa+βb (линейная комбинация a и b) для некоторых чисел α, β, то векторы a, b, c компланарны.

Правило разложения вектора по трём некомпланарным векторам

Если векторы p, q, r некомпланарны (не лежат в одной плоскости), то любой вектор a пространства можно единственным образом представить в виде их линейной комбинации:

$a = α p + β q + γ r$

Это утверждение — основа теоремы о разложении вектора по базису в пространстве, обобщающее аналогичный факт на плоскости (где для разложения достаточно двух неколлинеарных векторов) на трёхмерный случай с тремя некомпланарными векторами.

Применение векторов к задачам стереометрии

Векторный метод часто существенно упрощает доказательство утверждений и вычисление величин в стереометрии — например, доказательство параллельности прямых сводится к проверке коллинеарности соответствующих векторов, а нахождение середины отрезка или центроида треугольника — к простым формулам через координаты (полусумма координат концов отрезка для середины, среднее арифметическое координат вершин для центроида треугольника).

Типичные ошибки

Частая ошибка — вычислять координаты вектора AB как сумму (а не разность) координат точек A и B. Другая ошибка — путать коллинеарность (два вектора на одной или параллельных прямых) с компланарностью (три вектора в одной плоскости) — это принципиально разные понятия для разного числа векторов. Также распространена ошибка при проверке компланарности — забыть, что признак c=αa+βb требует существования конкретных чисел α, β, и не проверить это условие явно, ограничившись лишь общими соображениями.

Краткий словарь терминов

Вектор — направленный отрезок, характеризуемый длиной и направлением.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной или параллельных прямых.

Компланарные векторы — три (или более) вектора, лежащие в одной плоскости при откладывании от общей точки.

Координаты вектора — числа x, y, z в разложении a=xi+yj+zk по базисным векторам осей координат.

Заключение

Векторы в пространстве обладают теми же базовыми операциями (сложение, вычитание, умножение на число), что и векторы на плоскости, но дополнительно возникает понятие компланарности — специфическое для трёхмерного случая. Координатное представление векторов через тройки чисел {x;y;z} сводит геометрические операции над векторами к алгебраическим действиям над числами, что делает векторный метод одним из самых эффективных инструментов решения задач стереометрии.