Условная вероятность и схема Бернулли

Условная вероятность, формула полной вероятности, формула Байеса, повторные независимые испытания, формула Бернулли

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что событие B уже произошло (P(B)>0), называют величину, обозначаемую P(A|B) и вычисляемую по формуле:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

Условная вероятность отражает, как меняется (или не меняется) вероятность события A, если известно, что событие B уже произошло. Именно через условную вероятность формально определяется независимость событий: события A и B независимы тогда и только тогда, когда P(A|B)=P(A) — то есть знание о наступлении B никак не меняет вероятность A.

Пример 1: условная вероятность

Условие. В группе из 30 студентов 18 изучают английский язык, 12 изучают немецкий язык, а 6 изучают оба языка одновременно. Наугад выбирают одного студента, оказавшегося изучающим английский. Найдите вероятность того, что он изучает и немецкий тоже.

Решение. Пусть A — «изучает немецкий», B — «изучает английский». P(B)=18/30, P(A∩B)=6/30 (изучают оба языка):

$P\left(A|B\right)=\frac{\left(\frac{6}{30}\right)}{\left(\frac{18}{30}\right)}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$

Формула умножения вероятностей (общий случай)

Из определения условной вероятности напрямую следует формула умножения вероятностей для произвольных (не обязательно независимых) событий:

$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)·P\left(A|B\right)$

Эта формула обобщает теорему умножения для независимых событий на общий случай: если события действительно независимы, P(A|B)=P(A), и формула превращается в уже знакомое P(A∩B)=P(A)·P(B).

Формула полной вероятности

Пусть события H₁, H₂, …, Hₙ образуют полную группу несовместных гипотез (в результате эксперимента происходит ровно одно из этих событий), и известны вероятности этих гипотез P(Hᵢ), а также условные вероятности некоторого события A при каждой гипотезе, P(A|Hᵢ). Тогда полную (безусловную) вероятность события A находят по формуле полной вероятности:

$P\left(A\right)=\Sigma \left(i=1..n\right)P\left(H_i\right)·P\left(A|H_i\right)$

Пример 2: формула полной вероятности

Условие. На складе хранятся детали от трёх поставщиков: 50% от первого, 30% от второго, 20% от третьего. Доля бракованных деталей у первого поставщика — 2%, у второго — 3%, у третьего — 5%. Найдите вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бракованной.

Решение. Пусть H₁, H₂, H₃ — гипотезы «деталь от 1-го, 2-го, 3-го поставщика» с вероятностями 0,5; 0,3; 0,2 соответственно. Условные вероятности брака: 0,02; 0,03; 0,05:

$P\left(A\right)=\mathrm{0,5}·\mathrm{0,02}+\mathrm{0,3}·\mathrm{0,03}+\mathrm{0,2}·\mathrm{0,05}=\mathrm{0,01}+\mathrm{0,009}+\mathrm{0,01}=\mathrm{0,029}$

Формула Байеса

Если событие A уже произошло, и требуется переоценить вероятности гипотез H₁,…,Hₙ с учётом этого нового знания, используют формулу Байеса, которая выражает условную вероятность гипотезы Hᵢ при условии A через исходные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события A:

$P\left(H_i|A\right)=\frac{P\left(H_i\right)·P\left(A|H_i\right)}{P\left(A\right)}$

где P(A) в знаменателе вычисляется по формуле полной вероятности. Формула Байеса широко применяется в медицинской диагностике, распознавании сигналов и многих других областях, где требуется уточнить вероятность причины по известному следствию.

Пример 3: формула Байеса

Условие. Используя данные примера 2, найдите вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь произведена третьим поставщиком.

Решение. Применим формулу Байеса, используя уже найденное P(A)=0,029:

$P\left(H_3|A\right)=\frac{\mathrm{0,2}·\mathrm{0,05}}{\mathrm{0,029}}=\frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{0,029}}\approx \mathrm{0,345}$

Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли)

Схемой Бернулли называют серию из n одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых событие A («успех») наступает с одной и той же вероятностью p, а не наступает («неудача») — с вероятностью q=1−p. Требуется найти вероятность того, что событие A наступит ровно k раз из n испытаний.

Формула Бернулли

Вероятность того, что в схеме Бернулли из n испытаний событие A наступит ровно k раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n\left(k\right)=C_n^k·p^k·q^{n-k}$

Формула объединяет комбинаторику (число способов выбрать, какие именно k из n испытаний окажутся «успешными») с теоремой умножения вероятностей для независимых испытаний.

Пример 4: применение формулы Бернулли

Условие. Монету подбрасывают 5 раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение. n=5, k=3, p=q=0,5:

$P_5\left(3\right)=C_5^3·{\left(\mathrm{0,5}\right)}^3·{\left(\mathrm{0,5}\right)}^2=10·\mathrm{0,125}·\mathrm{0,25}=\mathrm{0,3125}$

Наивероятнейшее число успехов

В схеме Бернулли существует наивероятнейшее число успехов k₀ — значение k, при котором вероятность Pₙ(k) максимальна. Его можно найти по приближённой формуле (двойному неравенству), не вычисляя все значения Pₙ(k) по отдельности:

$np-q\le k_0\le np+p$

Если границы этого промежутка не являются целыми числами, единственное целое число внутри промежутка и есть k₀; если границы целые, наивероятнейших значений два (оба целых числа-границы).

Типичные ошибки

Частая ошибка — применять формулу Бернулли к испытаниям, которые на самом деле зависимы или имеют разную вероятность успеха от испытания к испытанию (например, выбор без возвращения из конечной совокупности, где вероятность меняется после каждого извлечения). Другая ошибка — перепутать местами события и гипотезы в формуле Байеса, подставив условную вероятность не в ту позицию. Также распространена путаница между P(A|B) и P(B|A) — эти величины, вообще говоря, различны и совпадают лишь в частных случаях.

Краткий словарь терминов

Условная вероятность — P(A|B)=P(A∩B)/P(B) — вероятность A при условии, что B уже произошло.

Формула полной вероятности — P(A)=ΣP(Hᵢ)·P(A|Hᵢ) для полной группы несовместных гипотез.

Формула Байеса — переоценка вероятности гипотезы Hᵢ с учётом наступившего события A.

Схема Бернулли — серия n независимых испытаний с постоянной вероятностью успеха p в каждом.

Формула Бернулли — Pₙ(k)=Cₙᵏpᵏqⁿ⁻ᵏ — вероятность ровно k успехов из n испытаний.

Заключение

Условная вероятность и связанные с ней формулы полной вероятности и Байеса позволяют работать с вероятностями событий, зависящих от дополнительной информации или от нескольких возможных причин. Схема Бернулли и формула Бернулли, в свою очередь, дают инструмент для расчёта вероятности заданного числа успехов в серии одинаковых независимых испытаний — одна из наиболее часто встречающихся моделей теории вероятностей в задачах экзамена.