Релятивистский закон сложения скоростей. Взаимосвязь массы и энергии

Релятивистское сложение скоростей, релятивистский импульс, энергия покоя, полная энергия, формула E=mc²

Релятивистский закон сложения скоростей

Как отмечалось в предыдущей статье, классическое правило сложения скоростей Галилея (v=v₁+v₂) несовместимо с постоянством скорости света и должно быть заменено более точным релятивистским законом сложения скоростей. Если тело движется со скоростью v' относительно некоторой системы отсчёта K', которая, в свою очередь, движется со скоростью u относительно неподвижной системы K (вдоль общего направления движения), то скорость тела относительно системы K находят по формуле:

$v=\frac{\left(v\text{'}+u\right)}{\left(1+\frac{v\text{'}·u}{c^2}\right)}$

При скоростях, малых по сравнению со скоростью света (v'≪c, u≪c), знаменатель практически не отличается от единицы, и формула переходит в привычный классический закон сложения скоростей v≈v'+u — то есть релятивистская формула включает классическую как предельный частный случай.

Предельность скорости света

Важнейшее свойство релятивистского закона сложения скоростей — то, что при любых допустимых скоростях v' и u (каждая из которых меньше c) результирующая скорость v, вычисленная по формуле, всегда оказывается меньше c и никогда её не превышает. В частности, если одна из складываемых скоростей равна c (например, v'=c — скорость света в системе K'), то результат сложения по формуле снова в точности равен c, независимо от значения u — это прямое математическое подтверждение второго постулата Эйнштейна о постоянстве скорости света. Из этого следует фундаментальный вывод СТО: скорость света в вакууме является предельной скоростью передачи любых взаимодействий и сигналов во Вселенной — ни одно материальное тело не может быть разогнано до скорости, равной или превышающей c.

Пример 1: релятивистское сложение скоростей

Условие. Ракета движется относительно Земли со скоростью 0,8c и выпускает вперёд снаряд, скорость которого относительно ракеты равна 0,5c. Найдите скорость снаряда относительно Земли.

Решение.

$v=\frac{\left(\mathrm{0,5}c+\mathrm{0,8}c\right)}{\left(1+\mathrm{0,5}·\mathrm{0,8}\right)}=\frac{\mathrm{1,3}c}{\mathrm{1,4}}\approx \mathrm{0,929}c$

Обратите внимание: классическое сложение дало бы v=1,3c, что противоречило бы предельности скорости света; релятивистская формула даёт корректный результат v≈0,929c<c.

Релятивистский импульс

При скоростях, близких к скорости света, классическое выражение для импульса p=mv перестаёт быть точным и заменяется релятивистским импульсом:

$p=\frac{m·v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\gamma ·m·v$

где m — масса покоя тела (масса, измеренная в системе отсчёта, где тело покоится). Из этой формулы видно, что при v→c релятивистский импульс неограниченно возрастает (γ→∞) — это ещё одно объяснение того, почему тело с ненулевой массой покоя невозможно разогнать до скорости света: для этого потребовался бы бесконечно большой импульс, а значит, и бесконечно большая энергия.

Взаимосвязь массы и энергии

Одним из наиболее известных и фундаментальных следствий специальной теории относительности стало установление глубокой взаимосвязи между массой и энергией. Эйнштейн показал, что любое тело, обладающее массой покоя m, обладает также энергией покоя E₀, связанной с массой знаменитым соотношением:

$E_0={m·c}^2$

Эта формула утверждает, что масса и энергия — не независимые друг от друга величины, а, по сути, две формы описания одного и того же фундаментального свойства материи: масса покоя тела является мерой запасённой в нём энергии покоя, и наоборот. Поскольку коэффициент c² чрезвычайно велик (≈9·10¹⁶ м²/с²), даже ничтожно малому изменению массы соответствует огромное количество энергии.

Полная энергия и кинетическая энергия

Для движущегося тела полная энергия E складывается из энергии покоя и релятивистской кинетической энергии и выражается через Лоренц-фактор:

$E={\gamma ·m·c}^2=\frac{{m·c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Релятивистскую кинетическую энергию тела определяют как разность полной энергии и энергии покоя:

$E_{к}=E-E_0={m·c}^2·\left(\gamma -1\right)={m·c}^2·\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)$

При скоростях, малых по сравнению со скоростью света, эта формула (через разложение в ряд) переходит в привычное классическое выражение кинетической энергии E_к≈mv²/2, что вновь подтверждает соответствие релятивистской механики классической в пределе малых скоростей.

Пример 2: энергия покоя и дефект массы

Условие. Найдите энергию покоя тела массой 1 г. Сравните с энергией, выделяющейся при сгорании 1 кг угля (около 3·10⁷ Дж).

Решение.

$E_0={m·c}^2={10}^{-3}·{\left({3·10}^8\right)}^2={10}^{-3}·{9·10}^{16}={9·10}^{13}Дж$

Полученная энергия покоя всего одного грамма вещества (9·10¹³ Дж) в миллионы раз превышает энергию, выделяющуюся при сгорании килограмма угля — это иллюстрирует, насколько огромны запасы энергии, «спрятанные» в массе покоя любого вещества, и почему ядерные реакции (при которых высвобождается лишь ничтожная доля этой энергии покоя за счёт дефекта массы) выделяют несравнимо больше энергии, чем химические реакции.

Практическое значение соотношения E=mc²

Соотношение E=mc² — не просто теоретическая формула, а фундаментальный закон природы, подтверждённый огромным количеством экспериментов и лежащий в основе всей ядерной и субъядерной физики: работы атомных электростанций и ядерного оружия (деление тяжёлых ядер), термоядерного синтеза (в том числе в недрах звёзд, включая Солнце), процессов рождения и аннигиляции элементарных частиц. Именно эта взаимосвязь массы и энергии будет использована в разделе ядерной физики этого цикла при расчёте энергии связи атомных ядер и энергетического выхода ядерных реакций.

Типичные ошибки

Частая ошибка — применять классический закон сложения скоростей v=v₁+v₂ при скоростях, сравнимых со скоростью света, что может приводить к физически невозможному результату (скорости, превышающей c). Другая ошибка — путать энергию покоя E₀=mc² и полную энергию E=γmc², забывая, что второе выражение учитывает ещё и релятивистскую кинетическую энергию движущегося тела. Также распространена ошибка — считать, что формула E=mc² подразумевает превращение массы в энергию «из ничего»; в действительности при любых физических процессах (включая ядерные реакции) выполняются законы сохранения как полной энергии, так и (эквивалентно) полной массы-энергии замкнутой системы.

Краткий словарь терминов

Релятивистское сложение скоростей — v=(v'+u)/(1+v'u/c²) — формула сложения скоростей, не допускающая превышения скорости света.

Релятивистский импульс — p=γmv — импульс, неограниченно возрастающий при v→c.

Энергия покоя — E₀=mc² — энергия, соответствующая массе покоя тела.

Полная энергия — E=γmc² — сумма энергии покоя и релятивистской кинетической энергии.

Заключение

Релятивистский закон сложения скоростей, обеспечивающий непревышение скорости света при любых сложениях скоростей, и знаменитое соотношение E=mc², устанавливающее глубокую взаимосвязь массы и энергии, — важнейшие следствия специальной теории относительности Эйнштейна. Эти закономерности не только объясняют поведение тел при скоростях, близких к скорости света, но и лежат в основе понимания ядерных процессов, к изучению которых цикл вернётся в заключительном разделе. Следующий же раздел посвящён квантовой физике — явлениям, обнаружившим, что и свет, и вещество обладают одновременно волновыми и корпускулярными свойствами.