Пирамида

Определение пирамиды, правильная пирамида, площадь поверхности и объём пирамиды, усечённая пирамида

Определение пирамиды

Пирамидой называют многогранник, составленный из многоугольника (основания) и нескольких треугольников (боковых граней), имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания. Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды, а перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, — высотой пирамиды. Название пирамиды определяется формой основания: треугольная, четырёхугольная и так далее.

Правильная пирамида

Пирамиду называют правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника (центр вписанной и описанной окружностей). В правильной пирамиде все боковые рёбра равны между собой, а все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Апофемой правильной пирамиды называют высоту боковой грани, проведённую из вершины пирамиды к стороне основания.

Объём пирамиды

Объём любой пирамиды (правильной или произвольной) вычисляется по формуле:

$V=\left(\frac{1}{3}\right)·S_{осн}·h$

где S_осн — площадь основания, h — высота пирамиды. Эта формула была выведена в статье об объёмах тел вращения с помощью определённого интеграла (для случая конуса — частного вида пирамиды с бесконечным числом сторон основания), и точно так же выводится для пирамиды с любым многоугольным основанием.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности удобно находить через периметр основания и апофему, поскольку все боковые грани — равные равнобедренные треугольники с общим основанием (стороной многоугольника) и общей высотой (апофемой):

$S_{бок}=\left(\frac{1}{2}\right)·P_{осн}·m,гдеm—апофема$

$S_{полн}=S_{бок}+S_{осн}$

Пример 1: объём правильной четырёхугольной пирамиды

Условие. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, высота пирамиды — 4 см. Найдите объём пирамиды.

Решение. Площадь основания (квадрата): S_осн=6²=36 см²:

$V=\left(\frac{1}{3}\right)·36·4=48{см}^3$

Соотношение между высотой, апофемой и боковым ребром

В правильной пирамиде высота h, апофема m и радиус вписанной в основание окружности r связаны прямоугольным треугольником (высота — катет, r — другой катет, апофема — гипотенуза): m²=h²+r². Аналогично, высота h, радиус описанной около основания окружности R и боковое ребро l образуют другой прямоугольный треугольник: l²=h²+R². Эти соотношения — основной инструмент вычислений в задачах на правильную пирамиду.

Пример 2: апофема и боковое ребро правильной пирамиды

Условие. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, высота пирамиды 2√3 см. Найдите апофему и боковое ребро пирамиды.

Решение. Для правильного треугольника со стороной a радиус вписанной окружности r=a/(2√3), радиус описанной окружности R=a/√3. При a=6: r=6/(2√3)=√3 см, R=6/√3=2√3 см. Апофема:

$m=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{12+3}=\sqrt{15}см$

Боковое ребро:

$l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{12+12}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}см$

Усечённая пирамида

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю часть (маленькую пирамиду), оставшуюся часть называют усечённой пирамидой. Она имеет два параллельных основания — нижнее (исходное) и верхнее (сечение, подобное нижнему основанию), а также боковые грани в форме трапеций. Объём усечённой пирамиды с площадями оснований S₁ (нижнее, большее) и S₂ (верхнее, меньшее) и высотой h находят по формуле:

$V=\left(\frac{h}{3}\right)·\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{·S}_2}\right)$

Пример 3: объём усечённой пирамиды

Условие. Высота усечённой пирамиды равна 6 см, площади оснований равны 32 см² и 18 см². Найдите объём.

Решение.

$V=\left(\frac{6}{3}\right)·\left(32+18+\sqrt{32·18}\right)=2·\left(50+\sqrt{576}\right)=2·\left(50+24\right)=2·74=148{см}^3$

Сечения пирамиды, параллельные основанию

Если пирамиду с площадью основания S и высотой H пересечь плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии x от вершины (0<x<H), сечение подобно основанию с коэффициентом подобия x/H, а его площадь связана с площадью основания как квадрат этого коэффициента:

$S_{сеч}=S·{\left(\frac{x}{H}\right)}^2$

Это свойство — прямое следствие подобия треугольников (всех боковых граней) при сечении пирамиды плоскостью, параллельной основанию, и часто используется в задачах на нахождение площади сечения или на деление пирамиды на части заданного объёма.

Пример 4: сечение, делящее объём пополам

Условие. На каком расстоянии от вершины пирамиды высотой H нужно провести сечение, параллельное основанию, чтобы оно разделило объём пирамиды на две равные части?

Решение. Малая пирамида (отсечённая сверху) подобна исходной с коэффициентом k=x/H, а её объём относится к объёму исходной пирамиды как k³ (поскольку объём пропорционален кубу линейного коэффициента подобия). Чтобы объём малой пирамиды составлял ровно половину исходного объёма:

$k^3=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\Rightarrow x=\frac{H}{\sqrt[3]{2}}=\frac{H·\sqrt[3]{4}}{2}$

Типичные ошибки

Частая ошибка — забыть коэффициент 1/3 в формуле объёма пирамиды, спутав её с формулой объёма призмы. Другая распространённая ошибка — перепутать апофему с боковым ребром или с высотой пирамиды: это три разные величины, связанные разными прямоугольными треугольниками. При работе с сечениями пирамиды типичная ошибка — использовать линейный коэффициент подобия вместо его квадрата для отношения площадей или вместо куба для отношения объёмов.

Краткий словарь терминов

Пирамида — многогранник с одним многоугольным основанием и боковыми гранями-треугольниками с общей вершиной.

Правильная пирамида — пирамида с правильным многоугольником в основании и вершиной, проецирующейся в его центр.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины.

Усечённая пирамида — часть пирамиды между основанием и сечением, параллельным основанию.

Заключение

Объём любой пирамиды вычисляется по формуле V=(1/3)S_осн·h, а для правильной пирамиды дополнительно удобны формулы через апофему для площади боковой поверхности. Ключевые прямоугольные треугольники, связывающие высоту, апофему, боковое ребро и радиусы вписанной и описанной окружностей основания, а также свойства подобия сечений, параллельных основанию, — основной инструментарий для решения задач на пирамиду и усечённую пирамиду.