Первообразная и неопределённый интеграл

Операция, обратная дифференцированию: определение, таблица первообразных, правила интегрирования

Обратная задача к дифференцированию

До сих пор мы решали задачу: дана функция, найти её производную. Теперь рассмотрим обратную задачу: дана производная (скорость изменения некоторой величины), нужно восстановить саму эту величину. Такая задача постоянно встречается в физике: известно ускорение — нужно найти скорость; известна скорость — нужно найти пройденный путь. Операцию восстановления функции по её производной называют интегрированием.

Определение первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство:

$F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right)$

Например, функция F(x)=x³ является первообразной для f(x)=3x², поскольку (x³)'=3x². Но заметим: функция F(x)=x³+5 — тоже первообразная для той же функции 3x², ведь производная константы равна нулю. То же верно для x³−100, x³+π и вообще x³+C при любой постоянной C.

Основное свойство первообразных

Если F(x) — какая-нибудь первообразная для f(x) на промежутке, то любая другая первообразная этой функции на том же промежутке имеет вид F(x)+C, где C — произвольная постоянная. Это следует из того, что если две функции имеют одинаковую производную на промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянную (следствие теоремы Лагранжа о среднем значении). Геометрически графики всех первообразных данной функции получаются друг из друга параллельным сдвигом вдоль оси Oy (см. рис. 1) — в каждой точке с одинаковой абсциссой все эти графики имеют одинаковый угловой коэффициент касательной, ведь их общая производная f(x) одна и та же.

Неопределённый интеграл

Совокупность всех первообразных функции f(x) называют неопределённым интегралом этой функции и обозначают:

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

Здесь символ ∫ — знак интеграла, f(x) — подынтегральная функция, dx указывает переменную интегрирования, C — произвольная постоянная (называемая постоянной интегрирования). Нахождение неопределённого интеграла называют интегрированием функции.

Таблица первообразных основных функций

Правила интегрирования

Интегрирование, как и дифференцирование, подчиняется простым правилам работы с суммой и постоянным множителем:

$\int \left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$\int k·f\left(x\right)dx=k·\int f\left(x\right)dx\left(k—постоянная\right)$

Более сложное, но очень полезное правило — интегрирование сложной функции вида f(kx+b), где k и b — постоянные:

$\int f\left(kx+b\right)dx=\left(\frac{1}{k}\right)·F\left(kx+b\right)+C$

Например, ∫cos(3x+1)dx = (1/3)·sin(3x+1) + C — это прямое следствие правила цепочки, применённого «в обратную сторону».

Проверка результата интегрирования

Результат интегрирования всегда можно (и нужно) проверить дифференцированием: если найденная первообразная верна, то её производная обязана совпасть с исходной подынтегральной функцией. Этот приём — надёжный способ убедиться в отсутствии ошибки, и им стоит пользоваться при решении любой задачи на интегрирование.

Пример 1: интегрирование многочлена

Условие. Найдите ∫(3x² − 4x + 5)dx.

Решение. Применим правило интегрирования суммы почленно, используя табличную формулу для степенной функции:

$\int \left({3x}^2-4x+5\right)dx=\frac{{3·x}^3}{3}-\frac{{4·x}^2}{2}+5x+C=x^3-{2x}^2+5x+C$

Проверка: (x³−2x²+5x+C)' = 3x²−4x+5 — совпадает с исходной функцией.

Пример 2: использование правила для f(kx+b)

Условие. Найдите ∫(2x−1)⁴dx.

Решение. Здесь f(u)=u⁴, F(u)=u⁵/5, а внутренняя функция kx+b=2x−1 (k=2, b=−1):

$\int {\left(2x-1\right)}^{4}dx=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)·{\left(2x-1\right)}^5}{5}+C=\frac{{\left(2x-1\right)}^5}{10}+C$

Пример 3: нахождение первообразной по дополнительному условию

Условие. Найдите первообразную функции f(x)=4x³+2, график которой проходит через точку (1; 5).

Решение. Сначала найдём общий вид первообразной:

$F\left(x\right)=x^4+2x+C$

Чтобы найти конкретное значение C, подставим координаты заданной точки: F(1)=5:

$1+2+C=5\Rightarrow C=2$

Ответ: F(x) = x⁴ + 2x + 2. Этот тип задачи — типичный пример того, как из бесконечного семейства первообразных выбирается ровно одна, удовлетворяющая дополнительному (начальному) условию, — то же самое происходит, например, в физике при нахождении закона движения по известному ускорению и начальным скорости и координате.

Почему первообразная существует не только у «хороших» функций

Важный теоретический факт: любая непрерывная на промежутке функция имеет на нём первообразную (это одно из следствий связи между определённым интегралом и первообразной, устанавливаемой формулой Ньютона — Лейбница, о которой пойдёт речь в следующей статье). Однако не каждую первообразную удаётся выразить через элементарные функции — например, первообразная функции e^(−x²), играющей важную роль в теории вероятностей, не выражается в элементарных функциях, хотя, безусловно, существует.

Ещё один пример: интегрирование тригонометрического выражения

Условие. Найдите ∫(2sin x − 3cos x + 1)dx.

Решение. Применим правило почленного интегрирования и табличные формулы для синуса и косинуса:

$\int \left(2sinx-3cosx+1\right)dx=-2cosx-3sinx+x+C$

Проверка дифференцированием: (−2cos x − 3sin x + x + C)' = 2sin x − 3cos x + 1 — совпадает с исходным выражением.

Типичные ошибки

Частая ошибка — забывать прибавлять постоянную C при записи неопределённого интеграла: без неё ответ формально неверен, поскольку не отражает всего семейства первообразных. Другая ошибка возникает при использовании формулы для f(kx+b): забывают домножить результат на 1/k, интегрируя сложную функцию так, как будто внутренняя часть — это просто x (например, ошибочно пишут ∫sin(2x)dx=−cos(2x)+C вместо верного −(1/2)cos(2x)+C).

Физический смысл первообразной

Если v(t) — скорость тела, то путь (или координата) находится как первообразная скорости: s(t) — такая функция, что s'(t)=v(t). Аналогично, если a(t) — ускорение, то скорость — первообразная ускорения: v'(t)=a(t). Так, для тела, свободно падающего с ускорением g, скорость находится как первообразная постоянной функции a(t)=g, то есть v(t)=gt+C, где постоянная C определяется начальной скоростью тела.

Краткий словарь терминов

Первообразная — функция F(x), производная которой равна данной функции f(x).

Неопределённый интеграл — совокупность всех первообразных функции, ∫f(x)dx = F(x)+C.

Постоянная интегрирования — произвольное число C, добавляемое к одной из первообразных для получения всех остальных.

Подынтегральная функция — функция f(x), стоящая под знаком интеграла.

Заключение

Первообразная — функция, обратная по отношению к производной: F'(x)=f(x). Все первообразные данной функции образуют семейство F(x)+C, а их совокупность называют неопределённым интегралом. Табличные формулы вместе с правилами интегрирования суммы, произведения на константу и функции вида f(kx+b) позволяют находить первообразные большинства элементарных функций школьного курса — а результат всегда можно проверить обратным дифференцированием.