Площадь криволинейной трапеции, свойства определённого интеграла, формула Ньютона — Лейбница
Криволинейная трапеция
Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Фигуру, ограниченную графиком функции y=f(x), осью Ox и вертикальными прямыми x=a и x=b, называют криволинейной трапецией. Задача нахождения её площади — классическая задача, приведшая к понятию определённого интеграла.
Идея интегральных сумм
Чтобы приближённо найти площадь криволинейной трапеции, разобьём отрезок [a; b] на n маленьких отрезков и на каждом построим прямоугольник, высота которого равна значению функции в какой-нибудь точке этого маленького отрезка (см. рис. 1). Сумма площадей всех таких прямоугольников — интегральная сумма — приближённо равна площади криволинейной трапеции, и это приближение тем точнее, чем на более мелкие отрезки разбит промежуток.
Если увеличивать число прямоугольников n, устремляя длину каждого маленького отрезка к нулю, интегральная сумма стремится к некоторому пределу — этот предел и называют определённым интегралом функции f(x) от a до b:
Геометрический смысл определённого интеграла
Если f(x) ≥ 0 на [a; b], то определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью Ox и прямыми x=a, x=b. Если функция на промежутке отрицательна, интеграл равен площади со знаком «минус»; если функция меняет знак, интеграл равен алгебраической сумме площадей частей, лежащих выше и ниже оси Ox (площади над осью берутся со знаком «плюс», под осью — со знаком «минус»).
Формула Ньютона — Лейбница
Вычислять определённый интеграл через предел интегральных сумм на практике неудобно. К счастью, существует связь между определённым интегралом и первообразной, открытая независимо Ньютоном и Лейбницем и носящая их имена. Формула Ньютона — Лейбница: если F(x) — какая-либо первообразная функции f(x) на отрезке [a; b], то
Разность F(b)−F(a) принято обозначать F(x)|ₐᵇ. Эта формула сводит вычисление площадей (и других величин, выражаемых интегралом) к алгебраической задаче — найти первообразную и вычислить её значения на концах отрезка. Именно эта формула делает интегральное исчисление практическим инструментом, а не только теоретической конструкцией.
Работа переменной силы: физический пример
Определённый интеграл находит применение далеко за пределами геометрии. Например, работа переменной силы F(x), действующей вдоль оси Ox при перемещении тела от точки a до точки b, вычисляется как A = ∫ₐᵇF(x)dx — это прямое обобщение формулы «работа равна произведению силы на перемещение» для случая, когда сила не постоянна, а меняется в зависимости от положения тела (как, например, сила упругости пружины, подчиняющаяся закону Гука F(x)=kx).
Свойства определённого интеграла
Определённый интеграл обладает рядом полезных свойств, вытекающих из его определения и формулы Ньютона — Лейбница:
Алгоритм вычисления определённого интеграла
1) Найти первообразную F(x) подынтегральной функции f(x) (постоянную C можно опустить — она сократится при вычитании). 2) Вычислить значение F(b). 3) Вычислить значение F(a). 4) Найти разность F(b) − F(a) — это и есть значение интеграла.
Пример 1: вычисление по формуле Ньютона — Лейбница
Условие. Вычислите ∫₁³ (x² + 1)dx.
Решение. Найдём первообразную: F(x) = x³/3 + x. Вычислим F(3) и F(1):
По формуле Ньютона — Лейбница:
Пример 2: интеграл от тригонометрической функции
Условие. Вычислите ∫₀^(π/2) sin x dx.
Решение. Первообразная sin x — это −cos x. Тогда:
Интеграл и среднее значение функции
Определённый интеграл позволяет определить среднее значение функции на отрезке [a; b] — по аналогии со средним арифметическим конечного набора чисел:
Это понятие используется, например, для нахождения среднего значения скорости за промежуток времени, среднего значения переменного тока за период и во многих других прикладных задачах.
Пример 3: интеграл с несколькими слагаемыми
Условие. Вычислите ∫₁² (3x² − 2/x²)dx.
Решение. Заметим, что 2/x² = 2x⁻², и по табличной формуле первообразная x⁻² равна −x⁻¹. Первообразная всего выражения:
Вычислим значения на концах:
Почему знак интеграла меняется при перестановке пределов
Свойство ∫ᵦᵃf(x)dx=−∫ₐᵦf(x)dx может показаться формальным, но оно естественно следует из формулы Ньютона — Лейбница: ∫ᵦᵃf(x)dx = F(a)−F(b) = −(F(b)−F(a)) = −∫ₐᵇf(x)dx. Это свойство удобно использовать, когда по условию задачи верхний предел оказывается меньше нижнего — тогда результат вычисляют как обычно, но с противоположным знаком.
Типичные ошибки
Частая ошибка — забывать, что при вычислении определённого интеграла постоянную интегрирования C можно не писать вовсе (она в любом случае сократится при вычитании F(a) от F(b)). Другая ошибка — терять знак при вычитании F(a): важно не перепутать порядок и вычислять именно F(b)−F(a), а не наоборот, поскольку смена порядка меняет знак результата.
Краткий словарь терминов
Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком функции, осью Ox и двумя вертикальными прямыми.
Определённый интеграл — предел интегральных сумм при неограниченном измельчении разбиения отрезка.
Формула Ньютона — Лейбница — ∫ₐᵇf(x)dx = F(b)−F(a), связывающая определённый интеграл с первообразной.
Среднее значение функции — величина (1/(b−a))·∫ₐᵇf(x)dx, обобщающая понятие среднего арифметического на непрерывный случай.
Заключение
Определённый интеграл ∫ₐᵇf(x)dx возник как предел сумм площадей узких прямоугольников, приближающих криволинейную трапецию, но вычисляется он на практике по формуле Ньютона — Лейбница: F(b)−F(a), где F — любая первообразная подынтегральной функции. Эта формула связывает воедино дифференциальное и интегральное исчисление и открывает путь к вычислению площадей, объёмов и многих физических величин.
