Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Алгоритм поиска глобальных экстремумов, прикладные задачи оптимизации

Отличие от локальных экстремумов

В предыдущей статье рассматривались точки локального максимума и минимума — точки, где значение функции больше (меньше) значений в соседних точках. Но часто требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a; b] — то есть глобальный максимум и минимум среди всех значений функции на этом отрезке. Это разные задачи: наибольшее значение на отрезке может достигаться не в точке локального максимума, а на конце отрезка (см. рис. 1).

Теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она обязательно достигает на нём своего наибольшего и наименьшего значений — это гарантирует теорема Вейерштрасса. Достигаться эти значения могут либо в критических точках, лежащих внутри отрезка, либо на его концах — других вариантов нет, поскольку внутри отрезка, если функция не имеет экстремума, она монотонна и «крайние» значения на промежутке монотонности расположены на его границах.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке

1) Убедиться, что функция непрерывна на отрезке [a; b] (иначе теорема Вейерштрасса неприменима). 2) Найти производную f'(x) и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (a; b). 3) Вычислить значения функции во всех найденных критических точках и на обоих концах отрезка — в точках a и b. 4) Среди всех полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее — это и есть искомые значения.

Обратите внимание: определять характер критических точек (максимум это или минимум) на этом этапе не обязательно — достаточно вычислить значение функции в каждой из них и сравнить все числа между собой.

Пример решения задачи

Условие. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = x³ − 3x² на отрезке [−1; 3].

Решение. Функция непрерывна на всей числовой прямой, в частности на заданном отрезке. Найдём производную:

$f\text{'}\left(x\right)={3x}^2-6x=3x\left(x-2\right)$

Критические точки: x=0 и x=2 — обе лежат внутри отрезка [−1; 3]. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f\left(-1\right)=-1-3=-4;f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=8-12=-4;f\left(3\right)=27-27=0$

Сравнивая все четыре значения (−4, 0, −4, 0), находим: наибольшее значение функции на отрезке равно 0 (достигается в двух точках: x=0 и x=3), наименьшее значение равно −4 (тоже в двух точках: x=−1 и x=2).

Прикладная задача на оптимизацию

Условие. Из квадратного листа жести со стороной 12 см нужно изготовить открытую коробку максимального объёма, вырезав по углам одинаковые квадраты и загнув края. Какой должна быть сторона вырезаемых квадратов?

Решение. Пусть x — сторона вырезаемого квадрата (0 < x < 6). Тогда основание коробки — квадрат со стороной (12−2x), а высота коробки равна x. Объём коробки:

$V\left(x\right)=x·{\left(12-2x\right)}^2=x·\left(144-48x+{4x}^2\right)={4x}^3-{48x}^2+144x$

Нужно найти наибольшее значение V(x) на промежутке (0; 6). Найдём производную:

$V\text{'}\left(x\right)={12x}^2-96x+144=12\left(x^2-8x+12\right)=12\left(x-2\right)\left(x-6\right)$

Критические точки: x=2 и x=6. Точка x=6 — граница промежутка (при ней объём равен нулю — коробка вырождается), значит, рассматриваем x=2. Проверим знак производной: при x<2 производная положительна (функция возрастает), при 2<x<6 — отрицательна (функция убывает). Значит, x=2 — точка максимума.

$V\left(2\right)=2·{\left(12-4\right)}^2=2·64=128{см}^3$

Ответ: сторона вырезаемых квадратов должна быть равна 2 см, при этом объём коробки максимален и равен 128 см³. Эта задача — типичный пример того, как производная используется для решения практических задач оптимизации: сначала составляется функция, описывающая изучаемую величину, затем находится её наибольшее (или наименьшее) значение на промежутке, соответствующем физическому смыслу задачи.

Задача без внутренних критических точек

Не всегда критические точки попадают внутрь рассматриваемого отрезка — иногда функция монотонна на всём отрезке, и тогда наибольшее и наименьшее значения достигаются только на его концах.

Условие. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=2x³+3x²+1 на отрезке [0; 2].

Решение. Найдём производную: f'(x)=6x²+6x=6x(x+1). Критические точки x=0 и x=−1. Точка x=−1 не входит в отрезок [0;2], а x=0 — это левый конец отрезка (уже граница, а не внутренняя точка). Значит, на промежутке (0;2) производная не меняет знака — проверим: при x=1, f'(1)=6+6=12>0, то есть функция возрастает на всём отрезке. Наименьшее значение — на левом конце, наибольшее — на правом:

$f\left(0\right)=1;f\left(2\right)=16+12+1=29$

Ответ: наименьшее значение равно 1 (при x=0), наибольшее равно 29 (при x=2).

Ещё одна прикладная задача

Условие. Периметр прямоугольника равен 40 см. При каких длинах сторон площадь прямоугольника будет наибольшей?

Решение. Пусть x — одна из сторон прямоугольника (0<x<20), тогда вторая сторона равна (20−x) (поскольку полупериметр равен 20). Площадь как функция от x:

$S\left(x\right)=x\left(20-x\right)=20x-x^2$

Найдём производную и критическую точку:

$S\text{'}\left(x\right)=20-2x=0\Rightarrow x=10$

Проверка знака производной подтверждает, что x=10 — точка максимума (S' меняет знак с «+» на «−»). Значит, при x=10 вторая сторона тоже равна 20−10=10, то есть прямоугольник максимальной площади при заданном периметре — это квадрат, S(10)=100 см². Этот результат — известный факт: среди всех прямоугольников с фиксированным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Краткий словарь терминов

Наибольшее (наименьшее) значение на отрезке — глобальный максимум (минимум) значений непрерывной функции на заданном отрезке.

Теорема Вейерштрасса — утверждение о том, что непрерывная на отрезке функция обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений.

Задача оптимизации — задача нахождения наибольшего или наименьшего значения величины, зависящей от одного параметра.

Заключение

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке ищут среди значений в критических точках внутри отрезка и на его концах — других кандидатов быть не может. Этот простой алгоритм лежит в основе большого класса прикладных задач на оптимизацию: минимизацию затрат, максимизацию объёма, площади или прибыли, где сначала строится функция одной переменной, а затем находится её наибольшее или наименьшее значение на физически осмысленном промежутке.