Исследование функции на возрастание, убывание и экстремумы с помощью производной
Признак монотонности функции
Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Связь между знаком производной и поведением функции даёт признак монотонности:
если f'(x) > 0 на всём промежутке, то функция возрастает на этом промежутке; если f'(x) < 0 на всём промежутке — функция убывает. Геометрически это очевидно: положительная производная означает, что касательная (а значит, и сам график) направлена «вверх-вправо», отрицательная — «вниз-вправо».
Точки экстремума
Точку x₀ называют точкой максимума функции f, если значение f(x₀) больше значений функции во всех достаточно близких точках (f(x₀) ≥ f(x) для всех x из некоторой окрестности x₀). Аналогично определяется точка минимума — со знаком неравенства в другую сторону. Точки максимума и минимума вместе называют точками экстремума, а значения функции в них — экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума
Если x₀ — точка экстремума дифференцируемой функции f, то производная в этой точке равна нулю: f'(x₀) = 0 (теорема Ферма). Геометрически это означает, что касательная в точке экстремума горизонтальна. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции. Важно понимать, что условие f'(x₀)=0 необходимо, но не достаточно: не всякая критическая точка является точкой экстремума (например, у функции y=x³ производная в нуле равна нулю, но экстремума там нет — это точка перегиба).
Достаточное условие экстремума (признак по смене знака производной)
Пусть x₀ — критическая точка функции f, непрерывной в этой точке. Если при переходе через x₀ производная меняет знак с «плюса» на «минус», то x₀ — точка максимума; если с «минуса» на «плюс» — точка минимума; если знак не меняется — экстремума в этой точке нет.
Признак экстремума по второй производной
Существует альтернативный способ определить характер критической точки, не исследуя смену знака первой производной, а используя вторую производную. Если f'(x₀)=0 и f''(x₀)>0, то x₀ — точка минимума; если f'(x₀)=0 и f''(x₀)<0, то x₀ — точка максимума.
Если же f''(x₀)=0, этот признак ничего не говорит о характере точки — нужно возвращаться к исследованию смены знака первой производной. Признак по второй производной особенно удобен, когда вычисление знака f' на промежутках затруднено, а найти f''(x₀) в конкретной точке проще.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы
1) Найти область определения функции. 2) Найти производную f'(x). 3) Найти критические точки: решить уравнение f'(x)=0 и определить точки, где производная не существует. 4) Отметить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом из полученных промежутков (например, подстановкой пробной точки). 5) По знакам производной определить промежутки возрастания и убывания и точки экстремума.
Пример решения задачи
Условие. Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x³ − 3x (см. рис. 1).
Решение. Область определения — вся числовая прямая. Найдём производную:
Критические точки: f'(x)=0 при x=−1 и x=1. Определим знак производной на трёх промежутках, подставляя пробные точки (например, x=−2, x=0, x=2):
Значит, функция возрастает на (−∞; −1], убывает на [−1; 1] и вновь возрастает на [1; +∞). При переходе через x=−1 производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума, f(−1)=−1+3=2. При переходе через x=1 знак меняется с «−» на «+» — это точка минимума, f(1)=1−3=−2.
Второй пример: функция с областью определения не на всей прямой
Условие. Найдите промежутки монотонности функции f(x) = x + 4/x (x ≠ 0).
Решение. Найдём производную:
Знаменатель x² всегда положителен (при x≠0), поэтому знак производной определяется числителем x²−4=(x−2)(x+2). Критические точки: x=−2 и x=2 (а также x=0 — точка, где функция не определена, но она тоже разбивает область определения). Проверкой знака на промежутках получаем: функция возрастает на (−∞;−2] и на [2;+∞), убывает на [−2;0) и на (0;2]. Точка x=−2 — максимум (f(−2)=−4), точка x=2 — минимум (f(2)=4).
Пример применения признака по второй производной
Условие. Найдите точки экстремума функции f(x)=x⁴−8x²+3, используя вторую производную.
Решение. Найдём первую производную и критические точки:
Критические точки: x=−2, x=0, x=2. Найдём вторую производную:
Вычислим её значения в каждой критической точке:
Значит, x=−2 и x=2 — точки минимума (f(−2)=f(2)=16−32+3=−13), а x=0 — точка максимума (f(0)=3).
Монотонность и экстремумы в текстовых задачах
Исследование на монотонность часто используется не только для построения графиков, но и для доказательства неравенств и оценки величин: если известно, что функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, это сразу даёт неравенство между её значениями в разных точках этого промежутка. Например, чтобы доказать, что eˣ > 1+x при всех x≠0, рассматривают функцию g(x)=eˣ−1−x, находят g'(x)=eˣ−1, замечают, что g'(x)>0 при x>0 и g'(x)<0 при x<0, то есть x=0 — точка минимума g, и g(0)=0 — значит, во всех остальных точках g(x)>0, что и требовалось.
Краткий словарь терминов
Возрастающая функция — функция, у которой большему аргументу соответствует большее значение.
Точка экстремума — точка максимума или минимума функции.
Критическая точка — точка, в которой производная равна нулю или не существует.
Необходимое условие экстремума — в точке экстремума дифференцируемой функции производная равна нулю.
Достаточное условие экстремума — смена знака производной при переходе через критическую точку.
Заключение
Знак производной полностью определяет характер монотонности функции: f'>0 — возрастание, f'<0 — убывание. Экстремумы возможны только в критических точках (где f'=0 или производная не существует), а определить их тип помогает смена знака производной. Этот алгоритм — основа для решения широкого круга задач, от построения графиков до нахождения наибольших и наименьших значений функции.
