Метод координат в пространстве

Уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости, угол между прямой и плоскостью, между плоскостями

Суть координатного метода

Метод координат в стереометрии заключается в том, чтобы ввести подходящую прямоугольную систему координат (обычно связанную с рёбрами данного многогранника), найти координаты всех нужных точек, а затем свести геометрическую задачу (нахождение расстояния, угла, доказательство перпендикулярности или параллельности) к алгебраическим вычислениям с этими координатами. Этот метод особенно эффективен для многогранников с прямыми углами (куб, прямоугольный параллелепипед, пирамиды с рёбрами, перпендикулярными основанию), где координаты вершин находятся почти без вычислений.

Уравнение плоскости

Любая плоскость в пространстве задаётся уравнением вида:

$Ax+By+Cz+D=0$

где числа A, B, C — координаты вектора нормали n={A;B;C} — вектора, перпендикулярного данной плоскости. Зная нормаль и одну точку плоскости, можно составить её уравнение: если плоскость проходит через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и имеет нормаль n={A;B;C}, уравнение принимает вид A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0.

Составление уравнения плоскости по трём точкам

Если плоскость задана тремя точками, не лежащими на одной прямой, её уравнение можно найти, определив вектор нормали как вектор, перпендикулярный сразу двум векторам, лежащим в этой плоскости (образованным парами данных точек) — то есть найдя вектор n, скалярное произведение которого с обоими этими векторами равно нулю, а затем подставив координаты одной из точек для нахождения D.

Пример 1: уравнение плоскости по трём точкам

Условие. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1).

Решение. Найдём векторы AB={−1;1;0} и AC={−1;0;1}, лежащие в искомой плоскости. Нормаль n={A;B;C} должна быть перпендикулярна обоим векторам: n·AB=0 и n·AC=0, то есть −A+B=0 и −A+C=0, откуда B=A, C=A. Возьмём A=1: n={1;1;1}. Подставим точку A(1;0;0) в общее уравнение:

$1·\left(x-1\right)+1·\left(y-0\right)+1·\left(z-0\right)=0\Rightarrow x+y+z-1=0$

Расстояние от точки до плоскости

Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0, расстояние от точки M₀(x₀;y₀;z₀) до этой плоскости вычисляют по формуле:

$\rho =\frac{|{Ax}_0+{By}_0+{Cz}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Пример 2: расстояние от точки до плоскости

Условие. Найдите расстояние от точки M(2;3;4) до плоскости 2x−y+2z−9=0.

Решение.

$\rho =\frac{|2·2-3+2·4-9|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{|4-3+8-9|}{\sqrt{9}}=\frac{\left|0\right|}{3}=0$

Расстояние равно нулю, значит, точка M лежит в этой плоскости — что легко проверить прямой подстановкой координат точки в уравнение плоскости.

Угол между прямой и плоскостью

Угол φ между прямой с направляющим вектором s={x;y;z} и плоскостью с нормалью n={A;B;C} находят по формуле, использующей то, что искомый угол дополняет до 90° угол между прямой и нормалью:

$sin\left(\phi \right)=\frac{|s·n|}{\left(\left|s\right|·\left|n\right|\right)}$

Пример 3: угол между прямой и плоскостью

Условие. Найдите угол между прямой с направляющим вектором s={1;1;2} и плоскостью x+2y−z+3=0.

Решение. Нормаль плоскости: n={1;2;−1}. Скалярное произведение s·n=1·1+1·2+2·(−1)=1+2−2=1. Длины: |s|=√6, |n|=√6:

$sin\left(\phi \right)=\frac{\left|1\right|}{\left(\sqrt{6·}\sqrt{6}\right)}=\frac{1}{6}\Rightarrow \phi =arcsin\left(\frac{1}{6}\right)$

Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя плоскостями с нормалями n₁={A₁;B₁;C₁} и n₂={A₂;B₂;C₂} находят как угол между этими нормалями (либо угол, дополняющий его до 180°, — выбирается тот из двух смежных углов, который является острым, поскольку двугранный угол между плоскостями обычно ищут именно в этом смысле):

$cos\left(\phi \right)=\frac{\left|n_1{·n}_2\right|}{\left(\left|n_1\right|·\left|n_2\right|\right)}$

Пример 4: угол между плоскостями

Условие. Найдите угол между плоскостями x+y+z−3=0 и x−y+2z+1=0.

Решение. Нормали: n₁={1;1;1}, n₂={1;−1;2}. Скалярное произведение: 1−1+2=2. Длины: |n₁|=√3, |n₂|=√6:

$cos\left(\phi \right)=\frac{\left|2\right|}{\left(\sqrt{3·}\sqrt{6}\right)}=\frac{2}{\sqrt{18}}=\frac{2}{\left(3\sqrt{2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

$\phi =arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$

Признак параллельности плоскостей

Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормали коллинеарны, то есть координаты одной нормали пропорциональны координатам другой:

$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2\left(плоскостипараллельны\right)}$

Общая схема решения задачи координатным методом

1) Ввести удобную систему координат, обычно с началом в вершине с прямыми углами, если такая есть в фигуре. 2) Найти координаты всех точек, участвующих в задаче (часто — через известные длины рёбер данного многогранника). 3) В зависимости от того, что требуется найти, составить направляющие векторы прямых или нормали плоскостей. 4) Применить соответствующую формулу (расстояние, угол, признак перпендикулярности или параллельности) и получить численный ответ.

Пример 5: полное решение задачи координатным методом

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 найдите угол между плоскостью основания ABCD и плоскостью A₁BC (проходящей через вершину A₁ и ребро BC).

Решение. Введём координаты: A(0;0;0), B(2;0;0), C(2;2;0), A₁(0;0;2). Нормаль плоскости ABCD (плоскость z=0) — n₁={0;0;1}. Для плоскости A₁BC найдём два вектора: A₁B={2;0;−2}, A₁C={2;2;−2}. Нормаль n₂ перпендикулярна обоим: используем векторное произведение (или решаем систему): n₂={0·(−2)−(−2)·2; (−2)·2−2·(−2); 2·2−0·2}={4;0;4}, что можно упростить до {1;0;1}. Найдём угол между n₁ и n₂:

$cos\left(\phi \right)=\frac{|0·1+0·0+1·1|}{\left(1·\sqrt{2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi =45°$

Типичные ошибки

Частая ошибка при составлении уравнения плоскости по трём точкам — допустить арифметическую ошибку при решении системы для нахождения нормали, особенно при отсутствии навыка использования векторного произведения. Другая ошибка — в формулах для угла между прямой и плоскостью использовать косинус вместо синуса (или наоборот для угла между плоскостями) — важно помнить, что угол между прямой и плоскостью определяется как угол, дополняющий до 90° угол между прямой и нормалью, откуда и возникает синус вместо косинуса. Также распространена ошибка — забыть знак модуля в числителе формул расстояния и угла, что может привести к отрицательному «косинусу» острого угла.

Краткий словарь терминов

Уравнение плоскости — Ax+By+Cz+D=0, где {A;B;C} — координаты вектора нормали к плоскости.

Вектор нормали — вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — ρ=|Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).

Угол между прямой и плоскостью — sin(φ)=|s·n|/(|s||n|), где s — направляющий вектор прямой, n — нормаль плоскости.

Заключение

Метод координат превращает стереометрические задачи на расстояния и углы в алгебраические вычисления с координатами точек, направляющими векторами прямых и нормалями плоскостей. Овладение этим методом — рассмотренным здесь в завершение цикла статей по математике 11 класса — вместе с формулами уравнения плоскости, расстояния от точки до плоскости и углов между прямыми и плоскостями даёт мощный универсальный инструмент, способный заменить громоздкие классические геометрические построения там, где они оказываются слишком сложными.