Механические колебания. Резонанс

Свободные и вынужденные колебания, математический и пружинный маятники, затухание и резонанс

Колебательное движение

Колебаниями называют движения (или процессы), обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Свободными (собственными) называют колебания, происходящие в системе, предоставленной самой себе после первоначального выведения из положения равновесия, без дальнейшего внешнего воздействия. Необходимое условие возникновения свободных колебаний — наличие в системе возвращающей силы, стремящейся вернуть систему в положение равновесия при любом отклонении от него.

Гармонические колебания

Гармоническими называют колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса:

$x (t) = A \cdot c o s (ω t + φ_{0})$

где A — амплитуда (максимальное отклонение от положения равновесия), ω — циклическая (круговая) частота, φ₀ — начальная фаза. Величину (ωt+φ₀) называют фазой колебаний. Циклическая частота связана с периодом T и частотой ν соотношениями ω=2π/T=2πν.

Пружинный маятник

Пружинным маятником называют груз, закреплённый на пружине и способный совершать колебания вдоль одной прямой под действием силы упругости пружины (см. рис. 1, слева). Согласно закону Гука, возвращающая сила пропорциональна смещению от положения равновесия: F=−kx, где k — жёсткость пружины. Из второго закона Ньютона получают циклическую частоту и период колебаний пружинного маятника:

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}, T = 2 π \sqrt{\frac{m}{k}}$

Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему — материальную точку массой m, подвешенную на нерастяжимой невесомой нити длиной l, колеблющуюся под действием силы тяжести (см. рис. 1, справа). При малых углах отклонения (α, как правило, менее 5°) колебания математического маятника можно приближённо считать гармоническими с периодом:

$T = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}}$

Важная особенность этой формулы — независимость периода от массы груза и от амплитуды колебаний (при малых углах) — свойство, называемое изохронностью и исторически впервые подмеченное Галилеем.

Пример 1: период колебаний маятника

Условие. Найдите период колебаний математического маятника длиной 1 м (принять g=10 м/с² для упрощения расчёта).

Решение.

$T = 2 π \sqrt{\frac{1}{10}} = 2 π \cdot 0,316 \approx 1,99 с \approx 2 с$

Пример 2: жёсткость пружины из периода колебаний

Условие. Груз массой 0,5 кг, подвешенный на пружине, совершает колебания с периодом 0,4 с. Найдите жёсткость пружины.

Решение. Из формулы T=2π√(m/k) выразим k:

$k = \frac{{4 π}^{2} m}{T^{2}} = \frac{{4 π}^{2} \cdot 0,5}{{0,4}^{2}} = \frac{{4 π}^{2} \cdot 0,5}{0,16} \approx \frac{123,4 Н}{м}$

Энергия колеблющегося тела

При гармонических колебаниях полная механическая энергия системы сохраняется (в отсутствие трения) и непрерывно переходит из кинетической в потенциальную и обратно — точно так же, как энергия колебательного контура переходит между электрическим и магнитным полями. В момент максимального отклонения (амплитуды) скорость равна нулю и вся энергия потенциальна; в момент прохождения положения равновесия скорость максимальна и вся энергия кинетическая:

$E = \frac{{k A}^{2}}{2} = \frac{{m v}_{m a x}^{2}}{2}$

Затухающие колебания

В реальных системах всегда присутствуют силы сопротивления (трение, сопротивление воздуха), которые постепенно отбирают энергию у колеблющейся системы, — из-за этого амплитуда свободных колебаний реальной системы со временем уменьшается; такие колебания называют затухающими. Скорость затухания зависит от соотношения сил трения и возвращающей силы: чем больше трение, тем быстрее затухают колебания (вплоть до апериодического режима, при котором колебательное движение вовсе не возникает, а система просто медленно возвращается в положение равновесия).

Вынужденные колебания

Вынужденными называют колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся (вынуждающей) силы. В отличие от свободных колебаний, частота вынужденных колебаний в установившемся режиме всегда равна частоте вынуждающей силы, а не собственной частоте системы. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от соотношения частоты вынуждающей силы и собственной частоты системы, а также от величины сил трения.

Явление резонанса

Резонансом называют резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной системы ω₀=√(k/m). Чем меньше силы трения в системе, тем острее и выше резонансный пик амплитуды (см. рис. 2); в идеализированном случае отсутствия трения амплитуда при точном резонансе стремилась бы к бесконечности.

Рис. 2. Резонансные кривые: чем меньше затухание в системе, тем выше и острее пик амплитуды вблизи собственной частоты ω₀.

Практическое значение и опасность резонанса

Явление резонанса широко используется в технике (например, в музыкальных инструментах, где резонанс усиливает и окрашивает звук, или в радиотехнических колебательных контурах, настраиваемых на резонансную частоту принимаемого сигнала). В то же время резонанс может быть крайне опасен: известны случаи разрушения мостов и зданий из-за резонансных колебаний, вызванных внешними периодическими воздействиями (шагами марширующих людей, порывами ветра, работой машин), совпадающими по частоте с собственными частотами колебаний конструкции. Именно поэтому инженеры-конструкторы обязательно рассчитывают собственные частоты сооружений и избегают их совпадения с частотами вероятных внешних воздействий.

Типичные ошибки

Частая ошибка — считать, что частота вынужденных колебаний в установившемся режиме совпадает с собственной частотой системы; на самом деле она всегда равна частоте вынуждающей силы, а собственная частота лишь определяет, при какой частоте вынуждающей силы наступит резонанс. Другая ошибка — забывать про независимость периода математического маятника от массы груза, ошибочно включая массу в формулу периода. Также распространена ошибка — путать амплитуду A с полным размахом колебаний (от минимального до максимального положения), который равен удвоенной амплитуде 2A.

Краткий словарь терминов

Гармонические колебания — колебания, происходящие по закону синуса или косинуса.

Математический маятник — материальная точка на невесомой нити; T=2π√(l/g).

Пружинный маятник — груз на пружине; T=2π√(m/k).

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой системы.

Заключение

Свободные колебания математического и пружинного маятников описываются едиными формулами гармонических колебаний, а вынужденные колебания под действием периодической внешней силы демонстрируют явление резонанса — резкое возрастание амплитуды при совпадении частот. Эти закономерности механических колебаний послужат основой для понимания механических волн, рассматриваемых в следующей статье, — ведь волна есть не что иное, как распространяющееся в пространстве колебательное движение.