Скалярное произведение векторов

Определение и вычисление скалярного произведения, угол между векторами, признак перпендикулярности, применение к задачам стереометрии

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

$a \cdot b = | a | \cdot | b | \cdot c o s (φ), г д е φ — у г о л м е ж д у в е к т о р а м и a и b$

Результат этой операции — не вектор, а обычное число (отсюда и название «скалярное»), что принципиально отличает эту операцию от сложения векторов или умножения вектора на число. Если хотя бы один из векторов нулевой, скалярное произведение полагают равным нулю.

Скалярное произведение в координатах

Если векторы заданы своими координатами a={x₁;y₁;z₁} и b={x₂;y₂;z₂}, скалярное произведение вычисляется по простой формуле:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$

Эта формула — самый удобный практический способ вычисления скалярного произведения, не требующий знания угла между векторами, что часто позволяет находить сам угол по обратной формуле, если известны координаты.

Пример 1: вычисление скалярного произведения по координатам

Условие. Даны векторы a={2;−1;3} и b={4;5;−2}. Найдите их скалярное произведение.

Решение.

$a \cdot b = 2 \cdot 4 + (- 1) \cdot 5 + 3 \cdot (- 2) = 8 - 5 - 6 = - 3$

Нахождение угла между векторами

Из определения скалярного произведения следует формула для косинуса угла между векторами:

$c o s (φ) = \frac{(a \cdot b)}{(| a | \cdot | b |)} = \frac{(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2})}{(\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}})}$

Эта формула — один из самых мощных инструментов векторного метода в стереометрии, позволяющий находить угол между отрезками, прямыми и даже плоскостями (через их направляющие или нормальные векторы), сводя геометрическую задачу к чисто алгебраическому вычислению.

Пример 2: нахождение угла между векторами

Условие. Найдите угол между векторами a={1;0;1} и b={0;1;1}.

Решение. Скалярное произведение: a·b=1·0+0·1+1·1=1. Длины векторов: |a|=√2, |b|=√2:

$c o s (φ) = \frac{1}{(\sqrt{2 \cdot} \sqrt{2})} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 60 °$

Признак перпендикулярности векторов

Поскольку cos90°=0, из определения скалярного произведения сразу следует важнейший практический критерий: два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю:

$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$

Этот признак — один из самых часто используемых фактов при решении стереометрических задач методом координат, поскольку позволяет проверять перпендикулярность прямых (и находить неизвестные параметры, обеспечивающие перпендикулярность) без построения самих перпендикуляров в пространстве.

Пример 3: нахождение параметра из условия перпендикулярности

Условие. При каком значении z векторы a={3;−2;z} и b={1;4;2} перпендикулярны?

Решение. По признаку перпендикулярности a·b=0:

$3 \cdot 1 + (- 2) \cdot 4 + z \cdot 2 = 0 \Rightarrow 3 - 8 + 2 z = 0 \Rightarrow 2 z = 5 \Rightarrow z = 2,5$

Свойства скалярного произведения

$a \cdot b = b \cdot a (п е р е м е с т и т е л ь н о с т ь)$

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c (р а с п р е д е л и т е л ь н о с т ь)$

$(k \cdot a) \cdot b = k \cdot (a \cdot b) (с о ч е т а т е л ь н о с т ь с ч и с л о в ы м м н о ж и т е л е м)$

$a \cdot a = {| a |}^{2} (с к а л я р н ы й к в а д р а т р а в е н к в а д р а т у д л и н ы)$

Последнее свойство (a·a=|a|²) часто применяют для нахождения длины вектора, заданного как сумма или разность других векторов с известными длинами и попарными скалярными произведениями — раскрывая скобки по правилам, аналогичным формулам сокращённого умножения в алгебре.

Пример 4: применение свойств для нахождения длины

Условие. Известно, что |a|=3, |b|=5, угол между a и b равен 60°. Найдите |a+b|.

Решение. Воспользуемся свойством a·a=|a|² и раскроем скалярный квадрат суммы:

${| a + b |}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + 2 a \cdot b + b \cdot b = {| a |}^{2} + 2 | a | | b | c o s 60 ° + {| b |}^{2}$

$= 9 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 0,5 + 25 = 9 + 15 + 25 = 49 \Rightarrow | a + b | = 7$

Применение к нахождению углов в стереометрических фигурах

Скалярное произведение особенно эффективно для нахождения углов между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями в пространственных телах, где непосредственное геометрическое построение соответствующего угла было бы затруднительным. Метод заключается во введении удобной системы координат (обычно с началом в одной из вершин многогранника и осями вдоль его рёбер), нахождении координат нужных точек и направляющих векторов, а затем — в применении формулы косинуса угла между векторами.

Пример 5: угол между диагональю куба и его ребром

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите угол между диагональю AC₁ и ребром AB, используя векторный метод.

Решение. Введём координаты: A(0;0;0), B(1;0;0), C₁(1;1;1). Тогда AC₁={1;1;1}, AB={1;0;0}:

$c o s (φ) = \frac{(1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0)}{(\sqrt{3} \cdot 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$φ = a r c c o s (\frac{1}{\sqrt{3}})$

Типичные ошибки

Частая ошибка — забыть, что результат скалярного произведения — число, а не вектор, и попытаться найти «направление» этого результата. Другая ошибка — перепутать формулу скалярного произведения через координаты (сумма произведений соответствующих координат) с длиной вектора (сумма квадратов координат под корнем) — это разные, хотя и похожие по структуре выражения. Также распространена ошибка при использовании признака перпендикулярности — забыть проверить, что оба вектора ненулевые, прежде чем делать вывод о перпендикулярности из равенства скалярного произведения нулю.

Краткий словарь терминов

Скалярное произведение — a·b=|a||b|cos(φ) — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Формула скалярного произведения в координатах — a·b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

Признак перпендикулярности векторов — a⊥b ⇔ a·b=0.

Скалярный квадрат — a·a=|a|² — скалярное произведение вектора самого на себя.

Заключение

Скалярное произведение векторов связывает геометрическое понятие угла между направлениями с алгебраической операцией над координатами, что делает его центральным инструментом координатно-векторного метода в стереометрии. Формула через координаты позволяет находить углы между прямыми и плоскостями, а признак перпендикулярности a·b=0 — эффективно проверять и доказывать перпендикулярность объектов без явных геометрических построений.