Шар и сфера

Определения шара и сферы, площадь сферы и объём шара, сечения шара плоскостью, шаровой сегмент и сектор

Определения шара и сферы

Сферой называют множество всех точек пространства, удалённых от данной точки (центра) на одно и то же расстояние R (радиус). Шаром называют тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от центра на расстояние, не превышающее R, — то есть шар ограничен сферой и включает все внутренние точки. Соотношение между шаром и сферой аналогично соотношению между кругом и окружностью на плоскости: сфера — это «поверхность» шара, как окружность — «граница» круга.

Шар и сфера как тело вращения

Шар можно получить вращением полукруга вокруг его диаметра, а сферу — вращением полуокружности вокруг того же диаметра. Именно этим способом в статье об объёмах тел вращения была выведена формула объёма шара с помощью определённого интеграла: V=π∫(R²−x²)dx на промежутке [−R;R].

Объём шара

$V=\left(\frac{4}{3}\right){·\pi R}^3$

Площадь сферы

Площадь поверхности сферы (в отличие от объёма, эта формула не выводится элементарно с помощью интеграла от площадей плоских сечений и обычно принимается в школьном курсе как данность или выводится другими методами, выходящими за рамки базового курса):

$S={4\pi R}^2$

Пример 1: объём и площадь поверхности шара

Условие. Радиус шара равен 6 см. Найдите объём шара и площадь его поверхности.

Решение.

$V=\left(\frac{4}{3}\right){·\pi ·6}^3=\left(\frac{4}{3}\right)·\pi ·216=288\pi {см}^3$

$S={4\pi ·6}^2=4\pi ·36=144\pi {см}^2$

Сечение шара плоскостью

Любое сечение шара плоскостью — круг. Если расстояние от центра шара до секущей плоскости равно d (d<R), то радиус сечения r находят по теореме Пифагора: r²=R²−d² (гипотенуза R, один катет d, другой — искомый радиус сечения). Наибольшее сечение (при d=0, когда плоскость проходит через центр) называют большим кругом шара, его радиус равен радиусу самого шара.

Пример 2: сечение шара плоскостью

Условие. Радиус шара равен 13 см. Секущая плоскость удалена от центра на 5 см. Найдите площадь сечения.

Решение. Радиус сечения:

$r=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12см$

$S_{сеч}={\pi r}^2=\pi ·144=144\pi {см}^2$

Шаровой сегмент

Шаровым сегментом называют часть шара, отсекаемую от него одной секущей плоскостью. Если высота сегмента (расстояние от плоскости сечения до наиболее удалённой точки сегмента на сфере) равна h, а радиус шара — R, объём шарового сегмента находят по формуле:

$V_{сегм}={\pi h}^2·\left(R-\frac{h}{3}\right)$

Пример 3: объём шарового сегмента

Условие. Радиус шара равен 10 см. Найдите объём шарового сегмента высотой 4 см.

Решение.

$V_{сегм}={\pi ·4}^2·\left(10-\frac{4}{3}\right)=16\pi ·\left(\frac{26}{3}\right)=\frac{416\pi }{3{см}^3}$

Шаровой сектор

Шаровым сектором называют тело, состоящее из шарового сегмента и конуса, вершина которого совпадает с центром шара, а основание — с основанием сегмента (при h<R) — либо, если сегмент больше полушара, шаровой сектор получают как объединение сегмента с «вырезанным» из него конусом. Объём шарового сектора выражается через радиус шара и высоту соответствующего сегмента:

$V_{сект}=\left(\frac{2}{3}\right){·\pi R}^2·h$

Касательная плоскость к сфере

Плоскость называют касательной к сфере, если она имеет со сферой ровно одну общую точку. Касательная плоскость всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, — это свойство полностью аналогично свойству касательной к окружности на плоскости и часто используется в задачах на комбинации шара с другими телами (например, шара, вписанного в конус или цилиндр).

Вписанный и описанный шар

Шар называют вписанным в многогранник, если он касается всех его граней; радиус такого шара связан с объёмом и полной площадью поверхности многогранника формулой V=(1/3)·S_полн·r (эта формула получается разбиением многогранника на пирамиды с вершиной в центре шара и основаниями — гранями многогранника). Шар называют описанным около многогранника, если все его вершины лежат на сфере.

Пример 4: шар, вписанный в куб

Условие. В куб с ребром 6 см вписан шар (касается всех шести граней куба). Найдите объём шара.

Решение. Радиус вписанного в куб шара равен половине ребра куба: r=6/2=3 см:

$V=\left(\frac{4}{3}\right){·\pi ·3}^3=\left(\frac{4}{3}\right)·\pi ·27=36\pi {см}^3$

Пример 5: шар, описанный около куба

Условие. Найдите радиус шара, описанного около куба с ребром 6 см (все вершины куба лежат на сфере).

Решение. Радиус описанного шара равен половине диагонали куба: d=6√3, r=d/2=3√3 см.

$r=3\sqrt{3}см$

Типичные ошибки

Частая ошибка — перепутать формулы объёма шара V=(4/3)πR³ и площади сферы S=4πR², особенно степень R (третья степень для объёма, вторая — для площади). Другая ошибка — при нахождении радиуса сечения шара использовать саму секущую плоскость без учёта расстояния от центра, забывая про теорему Пифагора r²=R²−d². В задачах на вписанный и описанный шар типичная ошибка — перепутать радиус вписанного шара (связанный с апофемой или половиной стороны многогранника) с радиусом описанного шара (связанным с диагональю или расстоянием до вершины).

Краткий словарь терминов

Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от центра.

Шар — тело, ограниченное сферой (все точки на расстоянии, не большем R, от центра).

Большой круг — сечение шара плоскостью, проходящей через центр; наибольшее возможное сечение.

Шаровой сегмент — часть шара, отсекаемая одной секущей плоскостью.

Объём шара — V=(4/3)πR³.

Заключение

Шар и сфера — базовые круглые тела стереометрии, объём и площадь поверхности которых выражаются простыми формулами V=(4/3)πR³ и S=4πR². Сечения шара плоскостями всегда являются кругами, что делает теорему Пифагора основным инструментом для нахождения радиуса сечения, а формулы для шарового сегмента и сектора, вместе со свойствами вписанных и описанных сфер, дополняют стандартный набор задач на эту фигуру в экзаменационных материалах.