Конус и усечённый конус

Определение конуса, площадь поверхности и объём конуса, усечённый конус, вписанные и описанные фигуры

Определение конуса

Конусом (прямым круговым конусом) называют тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Круг, образованный вращением второго катета, называют основанием конуса, точку, соответствующую вершине прямого угла с противоположной стороны, — вершиной конуса, а поверхность, полученную вращением гипотенузы, — боковой поверхностью. Отрезок, соединяющий вершину с произвольной точкой окружности основания, называют образующей конуса — все образующие равны между собой.

Связь радиуса, высоты и образующей

Поскольку конус получен вращением прямоугольного треугольника, радиус R, высота h и образующая l связаны теоремой Пифагора (образующая — гипотенуза):

$l^2=R^2+h^2$

Площадь поверхности конуса

Если развернуть боковую поверхность конуса на плоскость, получится круговой сектор с радиусом l (образующая конуса) и длиной дуги, равной длине окружности основания (2πR). Площадь этого сектора и есть площадь боковой поверхности конуса:

$S_{бок}=\pi Rl$

Полная поверхность конуса складывается из боковой поверхности и площади основания:

$S_{полн}=\pi Rl+{\pi R}^2=\pi R\left(l+R\right)$

Объём конуса

Объём конуса, как было показано в статье об объёмах тел вращения (где эта формула выводилась с помощью определённого интеграла), а также как частный случай формулы объёма пирамиды (конус — «пирамида» с бесконечным числом сторон в основании):

$V=\left(\frac{1}{3}\right){·\pi R}^2·h$

Пример 1: объём и поверхность конуса

Условие. Радиус основания конуса равен 6 см, высота — 8 см. Найдите образующую, объём и площадь полной поверхности конуса.

Решение. Образующая:

$l=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10см$

$V=\left(\frac{1}{3}\right){·\pi ·6}^2·8=\left(\frac{1}{3}\right)·\pi ·36·8=96\pi {см}^3$

$S_{полн}=\pi ·6·\left(10+6\right)=6\pi ·16=96\pi {см}^2$

Осевое сечение конуса

Осевым сечением конуса называют сечение плоскостью, проходящей через ось (высоту) конуса, — оно представляет собой равнобедренный треугольник с основанием 2R (диаметр основания) и боковыми сторонами, равными образующей l. Если осевое сечение — равносторонний треугольник, образующая конуса равна диаметру основания: l=2R.

Пример 2: конус с осевым сечением — равносторонним треугольником

Условие. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найдите объём конуса.

Решение. Сторона треугольника равна образующей и диаметру основания: l=2R=8, откуда R=4 см. Высота конуса равна высоте равностороннего треугольника: h=(8√3)/2=4√3 см:

$V=\left(\frac{1}{3}\right){·\pi ·4}^2·4\sqrt{3}=\left(\frac{1}{3}\right)·\pi ·16·4\sqrt{3}=\left(\frac{64\sqrt{3}}{3}\right)·\pi {см}^3$

Усечённый конус

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, и отбросить верхнюю часть, оставшаяся часть называется усечённым конусом. Он имеет два параллельных круговых основания с радиусами R (нижнее) и r (верхнее). Объём усечённого конуса вычисляется по формуле, аналогичной формуле объёма усечённой пирамиды:

$V=\left(\frac{\pi h}{3}\right)·\left(R^2+r^2+Rr\right)$

Площадь боковой поверхности усечённого конуса выражается через образующую l и радиусы оснований:

$S_{бок}=\pi \left(R+r\right)·l$

Пример 3: объём усечённого конуса

Условие. Радиусы оснований усечённого конуса равны 6 и 3 см, высота — 4 см. Найдите объём усечённого конуса.

Решение.

$V=\left(\frac{\pi ·4}{3}\right)·\left(36+9+18\right)=\left(\frac{4\pi }{3}\right)·63=84\pi {см}^3$

Вписанный и описанный конус

В задачах на комбинации тел конус часто рассматривают вместе с вписанной или описанной пирамидой: если в конус вписана правильная пирамида (её основание вписано в окружность основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса), радиус конуса равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды, а высота конуса равна высоте пирамиды. Апофема пирамиды в этом случае меньше образующей конуса (образующая конуса «дальше» от оси, чем апофема пирамиды, проходящая через середину стороны, а не через вершину основания).

Пример 4: конус, описанный около правильной пирамиды

Условие. Около конуса описана правильная треугольная пирамида (конус вписан в пирамиду, касаясь боковых граней по образующим, проходящим через середины сторон основания). Сторона основания пирамиды равна 12 см, высота пирамиды — 8 см. Найдите объём конуса.

Решение. Радиус конуса, вписанного в пирамиду, равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды: r=(a√3)/6=(12√3)/6=2√3 см. Высота конуса равна высоте пирамиды, 8 см:

$V=\left(\frac{1}{3}\right)·\pi ·{\left(2\sqrt{3}\right)}^2·8=\left(\frac{1}{3}\right)·\pi ·12·8=32\pi {см}^3$

Типичные ошибки

Частая ошибка — путать образующую с высотой конуса, особенно при вычислении площади боковой поверхности, где нужна именно образующая (гипотенуза), а не высота. Другая ошибка — в задачах на усечённый конус забыть слагаемое Rr в формуле объёма, механически применяя формулу для полного конуса к каждому из оснований по отдельности и вычитая результаты (что даёт неверный ответ). Также распространена ошибка при работе с вписанными и описанными фигурами — перепутать радиус вписанной окружности с радиусом описанной окружности многоугольника-основания соответствующей пирамиды.

Краткий словарь терминов

Конус — тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Образующая конуса — отрезок от вершины до окружности основания; l²=R²+h².

Усечённый конус — часть конуса между основанием и сечением, параллельным основанию.

Объём конуса — V=(1/3)πR²h — треть произведения площади основания на высоту.

Заключение

Конус — второе базовое круглое тело вращения наряду с цилиндром, для которого теорема Пифагора связывает радиус, высоту и образующую, а развёртка боковой поверхности в круговой сектор даёт формулу площади боковой поверхности. Усечённый конус, объём которого находится по формуле с дополнительным слагаемым Rr, а также комбинации конуса с вписанными и описанными пирамидами дополняют стандартный набор задач на эту фигуру.