Цилиндр

Определение цилиндра, площадь поверхности и объём, сечения цилиндра плоскостями

Определение цилиндра

Цилиндром (точнее, прямым круговым цилиндром — именно эта фигура изучается в школьном курсе) называют тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Два круга, образованные вращением сторон, перпендикулярных оси вращения, называют основаниями цилиндра, а боковую поверхность, образованную вращением стороны, параллельной оси, — боковой поверхностью. Это тело — частный случай тела вращения, рассмотренного в статье об объёмах, полученных вращением графиков функций (боковая поверхность цилиндра — вращение графика постоянной функции y=R).

Основные элементы цилиндра

Осью цилиндра называют прямую, соединяющую центры оснований (она же — сторона исходного прямоугольника, вокруг которой происходило вращение). Высотой цилиндра называют расстояние между плоскостями оснований, равное длине оси. Образующей цилиндра называют любой отрезок боковой поверхности, параллельный оси, — для прямого цилиндра образующая равна высоте. Радиусом цилиндра называют радиус его основания.

Площадь поверхности цилиндра

Если развернуть боковую поверхность цилиндра на плоскость, получится прямоугольник со сторонами: длина окружности основания (2πR) и высота цилиндра h. Отсюда — формула площади боковой поверхности:

$S_{бок}=2\pi R·h$

Полная поверхность складывается из боковой поверхности и двух кругов-оснований:

$S_{полн}=2\pi Rh+{2\pi R}^2=2\pi R\left(h+R\right)$

Объём цилиндра

Объём цилиндра, как и любого тела с постоянной площадью сечения на любой высоте, равен произведению площади основания на высоту:

$V={\pi R}^2·h$

Эта формула — частный случай общей формулы объёма тела вращения V=π∫f(x)²dx при постоянной функции f(x)=R на промежутке [0;h]: V=π·R²·h.

Пример 1: объём и площадь поверхности цилиндра

Условие. Радиус основания цилиндра равен 5 см, высота — 8 см. Найдите объём и площадь полной поверхности цилиндра.

Решение.

$V={\pi ·5}^2·8=200\pi {см}^3$

$S_{полн}=2\pi ·5·\left(8+5\right)=10\pi ·13=130\pi {см}^2$

Осевое сечение цилиндра

Осевым сечением цилиндра называют сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, — оно представляет собой прямоугольник со сторонами 2R (диаметр основания) и h (высота цилиндра). Осевое сечение часто используется как вспомогательное плоское изображение при решении пространственных задач.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси

Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, но не проходит через саму ось, сечение — тоже прямоугольник, но с меньшей стороной, чем диаметр (хордой основания вместо диаметра). Длину этой хорды находят через расстояние от оси до секущей плоскости и радиус основания по теореме Пифагора.

Пример 2: сечение, параллельное оси

Условие. Радиус основания цилиндра равен 10 см, высота — 12 см. Секущая плоскость параллельна оси цилиндра и удалена от неё на 6 см. Найдите площадь сечения.

Решение. Длина хорды основания, удалённой от центра на 6 см, находится по теореме Пифагора в треугольнике с гипотенузой R=10 и катетом 6 (расстояние от центра до хорды):

$полухорда=\sqrt{{10}^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8см,хорда=16см$

Сечение — прямоугольник со сторонами 16 см и 12 см:

$S=16·12=192{см}^2$

Сечение цилиндра плоскостью, наклонной к оснований

Если секущая плоскость наклонена к плоскости основания под некоторым углом (но пересекает боковую поверхность полностью, не выходя за пределы цилиндра), сечение представляет собой эллипс. Задачи школьного курса, как правило, ограничиваются сечениями, параллельными оси или основанию (окружность), либо просят найти отдельные элементы наклонного сечения без полного описания эллипса.

Вписанные и описанные фигуры

В задачах на комбинации тел цилиндр часто рассматривают вместе с вписанной или описанной призмой: если в цилиндр вписана правильная призма (её основания вписаны в окружности оснований цилиндра), радиус цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы. Аналогичные соотношения возникают и для описанной призмы, где радиус цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Пример 3: цилиндр, описанный около правильной призмы

Условие. Около цилиндра описана правильная шестиугольная призма (то есть цилиндр вписан в неё, касаясь всех боковых граней). Сторона основания призмы равна 4 см, высота призмы равна 10 см. Найдите объём цилиндра.

Решение. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности (это и есть радиус цилиндра) равен апофеме шестиугольника: r=(a√3)/2=(4√3)/2=2√3 см. Высота цилиндра равна высоте призмы, 10 см:

$V={\pi ·r}^2·h=\pi ·{\left(2\sqrt{3}\right)}^2·10=\pi ·12·10=120\pi {см}^3$

Типичные ошибки

Частая ошибка — путать образующую цилиндра с диаметром или радиусом основания при развёртке боковой поверхности. Другая ошибка — при нахождении сечения, параллельного оси, забыть про теорему Пифагора и просто взять диаметр вместо хорды, что верно только для осевого сечения. Также распространена ошибка в задачах на вписанные и описанные фигуры — перепутать радиус вписанной окружности (апофему) с радиусом описанной окружности многоугольника-основания призмы.

Краткий словарь терминов

Цилиндр — тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Образующая цилиндра — отрезок боковой поверхности, параллельный оси; для прямого цилиндра равен высоте.

Осевое сечение — сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось; прямоугольник со сторонами 2R и h.

Объём цилиндра — V=πR²h — произведение площади основания на высоту.

Заключение

Цилиндр — простейшее круглое тело вращения, все основные формулы для которого (площадь боковой поверхности, полная поверхность, объём) выводятся из формулы для площади прямоугольника (развёртка боковой поверхности) и общей формулы объёма тела вращения. Осевые сечения и сечения, параллельные оси, а также комбинации цилиндра с вписанными или описанными призмами — стандартные элементы задач на эту фигуру в экзаменационных материалах.