Сечения многогранников

Построение сечений методом следов, площадь сечения, применение свойств параллельности плоскостей

Что такое сечение многогранника

Сечением многогранника плоскостью называют многоугольник, вершины которого — точки пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника, а стороны — отрезки пересечения секущей плоскости с гранями многогранника. Построение сечения — одна из самых наглядных и в то же время сложных задач школьной стереометрии, требующая уверенного владения аксиомами о плоскостях и прямых в пространстве.

*Рис. 1. Сечение куба плоскостью, проходящей через середины трёх рёбер, образует правильный шестиугольник.*

Аксиомы, лежащие в основе построения сечений

Построение сечений опирается на несколько базовых фактов стереометрии: через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость; если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости; если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Именно последний факт лежит в основе метода следов — основного алгоритма построения сечений многогранников.

Метод следов

Метод следов заключается в следующем: 1) через заданные точки, лежащие на рёбрах или гранях многогранника, последовательно строят линии пересечения секущей плоскости с плоскостями граней многогранника (эти линии называют следами секущей плоскости на соответствующих гранях); 2) если след пересекает ребро многогранника, это пересечение — вершина искомого сечения; 3) процесс продолжают, переходя от грани к соседней грани, пока не будет построен весь замкнутый многоугольник сечения.

Пример 1: сечение куба через три точки на рёбрах

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ постройте сечение плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, BC и CC₁.

Решение. Обозначим середины рёбер: M (середина AB), N (середина BC), K (середина CC₁). В грани ABCD прямая MN — след секущей плоскости на этой грани (отрезок сечения). Далее плоскость MNK пересекает грань BB₁C₁C по отрезку NK. Чтобы найти продолжение сечения на остальные грани, проводят прямую через M и K до пересечения с продолжениями рёбер (или используют параллельность плоскостей ABCD и A₁B₁C₁D₁, а также параллельность противоположных граней куба, чтобы построить сечение симметрично). В результате сечение представляет собой шестиугольник, если плоскость выбрана так, что пересекает все шесть граней куба (как показано на рис. 1 для случая сечения через середины шести рёбер).

Использование параллельности плоскостей

Важный вспомогательный приём при построении сечений — свойство: если секущая плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей по некоторой прямой, то она пересекает и вторую параллельную плоскость по прямой, параллельной первой. Это свойство особенно полезно для многогранников с параллельными гранями (призма, параллелепипед): зная след сечения на одном основании, можно сразу построить параллельный ему след на другом основании, не выполняя дополнительных построений с нуля.

Пример 2: сечение призмы с использованием параллельности оснований

Условие. В треугольной призме ABCA₁B₁C₁ точка M — середина ребра AA₁. Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости основания ABC.

Решение. Поскольку секущая плоскость параллельна плоскости ABC, она пересекает боковые грани призмы по прямым, параллельным сторонам основания. Через точку M на ребре AA₁ проводим прямую, параллельную AB, до пересечения с ребром BB₁ в точке N (являющейся серединой BB₁, поскольку M — середина AA₁, а боковые рёбра призмы параллельны и равны). Аналогично строим точку K на ребре CC₁. Сечение MNK — треугольник, подобный основанию ABC с коэффициентом подобия 1 (поскольку плоскость сечения проходит через середины всех боковых рёбер, MNK равен ABC).

Нахождение площади сечения

После построения сечения его площадь обычно находят одним из способов: 1) если сечение — стандартная фигура (треугольник, параллелограмм, трапеция), вычисляют по соответствующей формуле планиметрии, найдя нужные стороны и углы через теорему Пифагора или теорему косинусов в пространственных прямоугольных треугольниках; 2) если сечение наклонено к некоторой известной плоскости, используют формулу связи площадей: S_сеч = S_проекции / cos(φ), где φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Пример 3: площадь сечения через проекцию

Условие. Сечение куба с ребром 4 см образует с плоскостью основания угол 45°, а его проекция на основание имеет площадь 12 см². Найдите площадь сечения.

Решение. По формуле связи площадей сечения и его проекции:

$S_{с е ч} = \frac{S_{п р о е к ц и и}}{c o s (45 °)} = \frac{12}{(\frac{\sqrt{2}}{2})} = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12 \sqrt{2} {с м}^{2}$

Диагональные сечения

Частный и часто встречающийся вид сечения — диагональное сечение, проходящее через два непересекающихся боковых ребра призмы (или через диагональ основания и вершину пирамиды). Для прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение — прямоугольник со сторонами, равными диагонали основания и высоте параллелепипеда; для правильной пирамиды диагональное сечение через противоположные боковые рёбра — равнобедренный (а для четырёхугольной пирамиды с квадратом в основании — равнобедренный) треугольник.

Пример 4: диагональное сечение параллелепипеда

Условие. Найдите площадь диагонального сечения прямоугольного параллелепипеда с измерениями 5, 12 и 8 см, проходящего через сторону 5 см и диагональ основания, образованного сторонами 5 и 12.

Решение. Диагональ основания (со сторонами 5 и 12): √(5²+12²)=13 см. Диагональное сечение — прямоугольник со сторонами 13 см (диагональ основания) и 8 см (высота параллелепипеда):

$S = 13 \cdot 8 = 104 {с м}^{2}$

Типичные ошибки

Наиболее частая ошибка при построении сечений — попытка соединить точки на несмежных гранях отрезком напрямую, минуя правильное построение следа через промежуточные грани; такой отрезок, вообще говоря, не лежит в секущей плоскости и не является стороной сечения. Другая ошибка — забыть, что сечение всегда представляет собой выпуклый многоугольник (для выпуклого многогранника), и построить самопересекающуюся или незамкнутую фигуру. При вычислении площади через формулу с проекцией частая ошибка — перепутать местами площадь сечения и площадь проекции в формуле деления на косинус.

Краткий словарь терминов

Сечение многогранника — многоугольник, образованный пересечением многогранника плоскостью.

Метод следов — алгоритм построения сечения через последовательное нахождение линий пересечения секущей плоскости с гранями.

Диагональное сечение — сечение, проходящее через два непересекающихся боковых ребра (или диагональ основания и вершину).

Формула связи площадей — S_сеч = S_проекции / cos(φ), где φ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Заключение

Построение сечений многогранников опирается на аксиомы стереометрии и метод следов, а использование свойств параллельности плоскостей существенно упрощает построение для призм и параллелепипедов с параллельными гранями. Площадь построенного сечения находят либо напрямую по формулам планиметрии, либо через связь с площадью его проекции на известную плоскость — набор приёмов, регулярно применяемых в задачах повышенной сложности на экзамене.