Параллелепипед

Виды параллелепипедов, свойства, диагональ прямоугольного параллелепипеда, площадь поверхности и объём

Определение параллелепипеда

Параллелепипедом называют призму, основанием которой служит параллелограмм — иными словами, шестигранник, все грани которого являются параллелограммами. Параллелепипед — частный (и особенно часто встречающийся) случай призмы, поэтому все формулы и свойства призмы применимы и к нему, но обладает и рядом дополнительных собственных свойств, связанных с тем, что все шесть его граней попарно параллельны и равны.

*Рис. 1. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁: все шесть граней — параллелограммы.*

Виды параллелепипедов

Параллелепипед называют прямым, если его боковые рёбра перпендикулярны основанию (боковые грани — прямоугольники). Прямоугольным параллелепипедом называют прямой параллелепипед, у которого основание — тоже прямоугольник (все шесть граней — прямоугольники). Частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны, — куб. Параллелепипед, не являющийся прямым, называют наклонным.

Свойства параллелепипеда

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам — это свойство напрямую обобщает известное свойство диагоналей параллелограмма на трёхмерный случай, поскольку каждое сечение параллелепипеда диагональной плоскостью — параллелограмм.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда

Для прямоугольного параллелепипеда с измерениями (длинами рёбер) a, b, c справедлива формула, обобщающая теорему Пифагора на три измерения:

$d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}, d = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Эту формулу легко получить, дважды применив обычную (плоскую) теорему Пифагора: сначала — к диагонали основания (гипотенуза с катетами a и b), затем — к пространственной диагонали как к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами (диагональю основания) и c (высотой).

Пример 1: диагональ прямоугольного параллелепипеда

Условие. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4 и 12 см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Решение.

$d = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 12^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13 с м$

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из трёх пар равных прямоугольных граней:

$S_{п о л н} = 2 (a b + b c + a c)$

Объём параллелепипеда

Как и для любой призмы, объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Для прямоугольного параллелепипеда эта общая формула сводится к простому произведению трёх измерений:

$V = a \cdot b \cdot c (п р я м о у г о л ь н ы й п а р а л л е л е п и п е д)$

$V = S_{о с н} \cdot h (п р о и з в о л ь н ы й п а р а л л е л е п и п е д)$

Для куба с ребром a формулы упрощаются ещё сильнее: V=a³, S_полн=6a², d=a√3 (диагональ куба — частный случай диагонали прямоугольного параллелепипеда при a=b=c).

Пример 2: объём и поверхность куба

Условие. Диагональ куба равна 6√3 см. Найдите объём и площадь полной поверхности куба.

Решение. Из формулы d=a√3 найдём ребро куба: a=d/√3=6√3/√3=6 см.

$V = a^{3} = 6^{3} = 216 {с м}^{3}$

$S_{п о л н} = {6 a}^{2} = 6 \cdot 36 = 216 {с м}^{2}$

Угол между диагональю и плоскостью основания

Угол между диагональю прямоугольного параллелепипеда и плоскостью основания находят с помощью прямоугольного треугольника, образованного диагональю (гипотенуза), диагональю основания (прилежащий катет) и высотой параллелепипеда (противолежащий катет):

$s i n (у г о л) = \frac{c}{d}, t g (у г о л) = \frac{c}{d_{о с н}}$

Пример 3: угол между диагональю и основанием

Условие. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 6 и 8 см, высота — 24 см. Найдите угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Решение. Диагональ основания: √(6²+8²)=10 см. Диагональ параллелепипеда: √(10²+24²)=√(100+576)=√676=26 см. Тангенс искомого угла:

$t g (α) = \frac{24}{10} = 2,4 \Rightarrow α = a r c t g 2,4$

Наклонный параллелепипед

В наклонном параллелепипеде боковые рёбра не перпендикулярны основанию, поэтому простые формулы для диагонали прямоугольного параллелепипеда неприменимы напрямую. В таких задачах обычно применяют теорему косинусов в соответствующих треугольниках или векторный метод, представляя диагональ как сумму рёбер-векторов, исходящих из одной вершины: d=a+b+c (векторное равенство), откуда |d|²=|a|²+|b|²+|c|²+2(a·b+b·c+a·c), где точки обозначают скалярное произведение векторов.

Типичные ошибки

Частая ошибка — применять формулу d²=a²+b²+c² к наклонному параллелепипеду, для которого она в общем случае неверна (эта формула справедлива только для прямоугольного параллелепипеда, где рёбра взаимно перпендикулярны). Другая ошибка — путать диагональ параллелепипеда (пространственную диагональ, соединяющую противоположные вершины) с диагональю одной из граней. Также распространена ошибка при вычислении угла между диагональю и основанием — использование диагонали параллелепипеда вместо диагонали основания в качестве прилежащего катета при нахождении тангенса угла.

Краткий словарь терминов

Параллелепипед — призма, все грани которой — параллелограммы.

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого — прямоугольники.

Куб — прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — d=√(a²+b²+c²), где a, b, c — измерения параллелепипеда.

Заключение

Параллелепипед — важный частный случай призмы, для прямоугольной разновидности которого действуют простые и удобные формулы: объём как произведение трёх измерений, диагональ через обобщённую теорему Пифагора, площадь поверхности через сумму площадей трёх пар граней. Куб, в свою очередь, — предельно симметричный частный случай прямоугольного параллелепипеда, формулы для которого получаются ещё более простыми.