Случайные величины и элементы статистики

Дискретная случайная величина, закон распределения, математическое ожидание и дисперсия, основы описательной статистики

Понятие случайной величины

Случайной величиной называют числовую величину, значение которой заранее не известно и зависит от исхода случайного эксперимента (число очков при бросании кубика, число попаданий при серии выстрелов, время ожидания автобуса). Дискретной называют случайную величину, принимающую отдельные, изолированные друг от друга значения (например, целые числа), в отличие от непрерывной случайной величины, которая может принимать любое значение из некоторого промежутка.

Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины X называют соответствие между всеми возможными значениями величины и их вероятностями. Закон распределения удобно записывать в виде таблицы, где в верхней строке перечислены все возможные значения xᵢ, а в нижней — соответствующие им вероятности pᵢ:

Поскольку величина обязательно принимает одно из перечисленных значений, сумма всех вероятностей в законе распределения всегда равна единице:

$p_1+p_2+\dots +p_n=1$

Пример 1: составление закона распределения

Условие. Монету подбрасывают дважды. Случайная величина X — число выпадений орла. Составьте закон распределения X.

Решение. Возможные значения X: 0, 1, 2. Всего равновозможных исходов 4 (ОО, ОР, РО, РР). Значению X=0 соответствует 1 исход (РР), X=1 — 2 исхода (ОР, РО), X=2 — 1 исход (ОО):

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех её возможных значений на соответствующие вероятности:

$M\left(X\right)=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\dots +x_n{p}_n=\Sigma x_i{p}_i$

Математическое ожидание — это своего рода «средневзвешенное» значение случайной величины, которое можно ожидать при многократном повторении эксперимента: чем чаще эксперимент повторяется, тем ближе среднее арифметическое полученных значений оказывается к M(X) (это утверждение уточняется законом больших чисел).

Пример 2: вычисление математического ожидания

Условие. Найдите математическое ожидание величины X из примера 1.

Решение.

$M\left(X\right)=0·\left(\frac{1}{4}\right)+1·\left(\frac{2}{4}\right)+2·\left(\frac{1}{4}\right)=0+\mathrm{0,5}+\mathrm{0,5}=1$

Результат вполне ожидаем: при двух бросках монеты в среднем следует ожидать одного орла.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

Математическое ожидание описывает «центр» распределения, но ничего не говорит о том, насколько сильно значения случайной величины разбросаны вокруг этого центра. Для измерения разброса используют дисперсию — математическое ожидание квадрата отклонения величины от её математического ожидания:

$D\left(X\right)=M\left[{\left(X-M\left(X\right)\right)}^2\right]=M\left(X^2\right)-{\left[M\left(X\right)\right]}^2$

Вторая форма записи (через M(X²) минус квадрат M(X)) обычно удобнее для вычислений, чем прямое применение определения. Поскольку дисперсия измеряется в квадратных единицах исходной величины, для получения характеристики разброса в тех же единицах, что и сама величина, используют среднее квадратическое отклонение:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{D}\left(X\right)$

Пример 3: вычисление дисперсии

Условие. Найдите дисперсию величины X из примера 1.

Решение. Найдём M(X²):

$M\left(X^2\right)=0^2·\left(\frac{1}{4}\right)+1^2·\left(\frac{2}{4}\right)+2^2·\left(\frac{1}{4}\right)=0+\mathrm{0,5}+1=\mathrm{1,5}$

Тогда:

$D\left(X\right)=M\left(X^2\right)-{\left[M\left(X\right)\right]}^2=\mathrm{1,5}-1^2=\mathrm{0,5}$

Свойства математического ожидания и дисперсии

$M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)\left(длялюбыхслучайныхвеличин\right)$

$M\left(cX\right)=c·M\left(X\right);D\left(cX\right)=c^2·D\left(X\right)\left(c—постоянная\right)$

$D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\left(длянезависимыхвеличинXиY\right)$

Основы описательной статистики

При анализе набора числовых данных (статистической выборки) используют характеристики, аналогичные математическому ожиданию и дисперсии, но вычисляемые непосредственно по данным, а не по теоретическому закону распределения. Средним арифметическим выборки x₁,x₂,…,x_n называют:

$x̄=\frac{\left(x_1+x_2+\dots +x_n\right)}{n}$

Медианой называют значение, находящееся в середине упорядоченной по возрастанию выборки (если число элементов нечётно) или среднее арифметическое двух центральных значений (если число элементов чётно). Модой называют значение, встречающееся в выборке чаще всего. Размахом выборки называют разность между наибольшим и наименьшим значениями.

Пример 4: описательные статистики выборки

Условие. Дана выборка: 4, 7, 7, 9, 12, 15, 18. Найдите среднее арифметическое, медиану, моду и размах.

Решение. Среднее арифметическое:

$x̄=\frac{\left(4+7+7+9+12+15+18\right)}{7}=\frac{72}{7}\approx \mathrm{10,29}$

Выборка уже упорядочена по возрастанию, элементов 7 (нечётное число) — медиана равна центральному, четвёртому по счёту значению: медиана=9. Значение 7 встречается дважды, чаще остальных — мода=7. Размах: 18−4=14.

Дисперсия и стандартное отклонение выборки

Аналогично дисперсии случайной величины, выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их среднего арифметического:

$S^2=\frac{\left[{\left(x_1-x̄\right)}^2+{\left(x_2-x̄\right)}^2+\dots +{\left(x_n-x̄\right)}^2\right]}{n}$

Корень из выборочной дисперсии — выборочное стандартное отклонение S — показывает, насколько типично данные отклоняются от среднего значения, выраженное в тех же единицах, что и сами данные.

Практическое применение статистических характеристик

Среднее арифметическое чувствительно к очень большим или очень маленьким значениям выборки (выбросам), тогда как медиана устойчива к ним — поэтому при анализе данных с возможными выбросами (например, доходов населения) часто предпочитают медиану как более показательную характеристику «типичного» значения. Мода полезна для категориальных данных или для описания наиболее часто встречающегося результата, а размах и стандартное отклонение дают представление о степени однородности данных.

Типичные ошибки

Частая ошибка — путать среднее арифметическое и медиану, особенно в выборках с несимметричным распределением, где эти величины могут существенно различаться. Другая ошибка при вычислении дисперсии по формуле D(X)=M(X²)−[M(X)]² — забыть возвести M(X) в квадрат или, наоборот, найти квадрат суммы вместо суммы квадратов при вычислении M(X²). При нахождении медианы чётной выборки типичная ошибка — взять только одно из двух центральных значений вместо их среднего арифметического.

Краткий словарь терминов

Случайная величина — числовая величина, значение которой определяется исходом случайного эксперимента.

Закон распределения — соответствие между значениями случайной величины и их вероятностями.

Математическое ожидание — M(X)=Σxᵢpᵢ — «среднее» значение случайной величины с учётом вероятностей.

Дисперсия — D(X)=M(X²)−[M(X)]² — мера разброса значений случайной величины вокруг математического ожидания.

Медиана выборки — значение, находящееся в середине упорядоченного ряда данных.

Заключение

Случайные величины и их числовые характеристики — математическое ожидание и дисперсия — позволяют компактно описывать поведение случайных процессов, обобщая теорию вероятностей на количественные результаты экспериментов. Аналогичные понятия описательной статистики (среднее, медиана, мода, дисперсия выборки) применяются при анализе реальных наборов данных и служат мостом между теорией вероятностей и практическим анализом статистической информации.