Классическая вероятность

Случайные события, классическое определение вероятности, операции над событиями, теоремы сложения и умножения вероятностей

Случайный эксперимент и события

Случайным экспериментом называют испытание, результат которого нельзя предсказать заранее однозначно (бросание кубика, извлечение карты из колоды, случайный выбор человека). Возможные результаты эксперимента называют элементарными исходами, а множество всех элементарных исходов — пространством элементарных исходов. Событием называют любое подмножество пространства элементарных исходов — то есть некоторое множество исходов, объединённых общим признаком.

Классическое определение вероятности

Если пространство элементарных исходов конечно и все исходы равновозможны (ни один из них не имеет преимущества перед другими), вероятностью события A называют отношение числа исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу всех элементарных исходов:

$P\left(A\right)=\frac{m}{n},гдеm—числоблагоприятныхисходов,n—общеечислоисходов$

Из этого определения сразу следуют базовые свойства: вероятность любого события удовлетворяет неравенству 0≤P(A)≤1; вероятность достоверного события (объединяющего все исходы) равна 1; вероятность невозможного события равна 0.

Пример 1: вероятность при бросании кубика

Условие. Игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число очков, кратное 3.

Решение. Всего исходов n=6 (числа от 1 до 6, равновозможны). Благоприятные исходы — выпадение 3 или 6, то есть m=2:

$P\left(A\right)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Операции над событиями

Объединением событий A и B (обозначают A∪B) называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий A, B. Пересечением событий A и B (обозначают A∩B) называют событие, состоящее в том, что произошли оба события одновременно. События A и B называют несовместными, если они не могут произойти одновременно (A∩B — невозможное событие). Событие Ā (не A) — противоположное событию A, состоящее в том, что A не произошло; при этом P(Ā)=1−P(A).

Теорема сложения вероятностей

Для любых двух событий A и B справедлива общая формула сложения вероятностей:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Если события A и B несовместны (P(A∩B)=0), формула упрощается:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\left(длянесовместныхсобытий\right)$

Пример 2: применение теоремы сложения

Условие. Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну карту. Найдите вероятность того, что эта карта — туз или карта червовой масти.

Решение. Пусть A — «вынута карта червовой масти» (P(A)=9/36), B — «вынут туз» (P(B)=4/36). События совместны: есть один туз червей, входящий в оба события — P(A∩B)=1/36. По общей формуле сложения:

$P\left(A\cup B\right)=\frac{9}{36}+\frac{4}{36}-\frac{1}{36}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$

Независимые события и теорема умножения

Два события называют независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Для независимых событий вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей каждого из них:

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)·P\left(B\right)\left(длянезависимыхсобытийAиB\right)$

Это правило обобщается на любое число независимых событий: вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей каждого из них по отдельности.

Пример 3: независимые события

Условие. Стрелок делает два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт оба раза.

Решение. Поскольку выстрелы независимы, вероятности перемножаются:

$P=\mathrm{0,8}·\mathrm{0,8}=\mathrm{0,64}$

Пример 4: вероятность через противоположное событие

Условие. Тот же стрелок делает два независимых выстрела. Найдите вероятность того, что он попадёт хотя бы один раз.

Решение. Событие «хотя бы одно попадание» противоположно событию «оба раза промах». Вероятность промаха при одном выстреле — 1−0,8=0,2. Вероятность промахнуться оба раза (независимые события) — 0,2·0,2=0,04. Тогда:

$P\left(хотябыоднопопадание\right)=1-\mathrm{0,04}=\mathrm{0,96}$

Этот приём — переход к противоположному событию — часто существенно упрощает решение задач со словами «хотя бы один», поскольку прямой подсчёт всех благоприятных случаев (ровно один, ровно два и т.д.) обычно намного длиннее.

Использование комбинаторики для подсчёта вероятностей

В задачах, где элементарные исходы представляют собой комбинации объектов (например, наборы карт или шаров), число благоприятных и общее число исходов часто находят с помощью формул сочетаний и размещений, изученных в предыдущих статьях.

Пример 5: вероятность с использованием сочетаний

Условие. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Наугад вынимают 3 шара одновременно. Найдите вероятность того, что все три шара окажутся белыми.

Решение. Общее число способов выбрать 3 шара из 10 — C₁₀³=120. Число способов выбрать 3 белых шара из 6 белых — C₆³=20:

$P=\frac{C_6^3}{C_{10}^3}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

Типичные ошибки

Частая ошибка — применять формулу сложения вероятностей для несовместных событий (P(A∪B)=P(A)+P(B)) к событиям, которые на самом деле совместны, забывая вычесть P(A∩B). Другая ошибка — считать события независимыми без должного обоснования и применять теорему умножения P(A∩B)=P(A)·P(B) там, где события на самом деле зависимы. Также распространена ошибка при подсчёте благоприятных исходов через сочетания — использование размещений вместо сочетаний (или наоборот) без анализа того, важен ли порядок в конкретной задаче.

Краткий словарь терминов

Элементарный исход — один из возможных равновозможных результатов случайного эксперимента.

Классическая вероятность — P(A)=m/n — отношение числа благоприятных исходов к общему числу равновозможных исходов.

Независимые события — события, для которых P(A∩B)=P(A)·P(B).

Противоположное событие — событие Ā, состоящее в ненаступлении события A; P(Ā)=1−P(A).

Заключение

Классическое определение вероятности сводит вычисление вероятности к подсчёту благоприятных и общих исходов, для чего активно используются формулы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей, а также переход к противоположному событию — базовые инструменты, позволяющие вычислять вероятности сложных событий через вероятности более простых составляющих.