Бином Ньютона

Формула бинома Ньютона, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля, свойства разложения

Формула бинома Ньютона

Бином Ньютона — формула, выражающая n-ю степень суммы двух слагаемых (a+b)ⁿ в виде суммы отдельных слагаемых, коэффициентами которых служат уже знакомые нам числа сочетаний:

${(a + b)}^{n} = Σ (k = 0 . . n) C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

В развёрнутом виде эта формула выглядит так:

${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} {a b}^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Коэффициенты Cₙᵏ, возникающие в этой формуле, называют биномиальными коэффициентами — именно эта формула объясняет, почему числа сочетаний носят такое название и обозначаются так же, как коэффициенты в разложении степени бинома.

Происхождение формулы

Формулу бинома Ньютона можно вывести, представив (a+b)ⁿ как произведение n одинаковых скобок (a+b)(a+b)…(a+b) и раскрыв их по правилу умножения многочленов: при раскрытии из каждой скобки выбирается либо a, либо b, и слагаемое aⁿ⁻ᵏbᵏ получается ровно столько раз, сколькими способами можно выбрать k скобок (из n), в которых будет взято b, — а это число способов в точности равно Cₙᵏ. Отсюда и появляется биномиальный коэффициент перед каждым слагаемым.

Пример 1: разложение бинома малой степени

Условие. Разложите (x+2)⁴ по формуле бинома Ньютона.

Решение. При n=4 биномиальные коэффициенты — C₄⁰=1, C₄¹=4, C₄²=6, C₄³=4, C₄⁴=1:

${(x + 2)}^{4} = x^{4} + {4 x}^{3} \cdot 2 + {6 x}^{2} {\cdot 2}^{2} + {4 x \cdot 2}^{3} + 2^{4}$

$= x^{4} + {8 x}^{3} + {24 x}^{2} + 32 x + 16$

Треугольник Паскаля

Биномиальные коэффициенты для последовательных значений n удобно организовать в виде треугольника Паскаля, где каждая строка соответствует определённому n, а на краях каждой строки стоят единицы; каждое внутреннее число равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предыдущей строке — это прямое следствие формулы Паскаля Cₙᵏ⁻¹+Cₙᵏ=Cₙ₊₁ᵏ, рассмотренной в предыдущей статье:

n=0	1
`n=1`	`1`	`1`
`n=2`	`1`	`2`	`1`
`n=3`	`1`	`3`	`3`	`1`
`n=4`	`1`	`4`	`6`	`4`	`1`

Треугольник Паскаля позволяет быстро находить биномиальные коэффициенты для небольших n без вычисления факториалов — достаточно последовательно строить строки по правилу сложения соседних чисел предыдущей строки.

Общий член разложения

Отдельное слагаемое разложения бинома Ньютона, стоящее под номером (k+1) (нумерация начинается с нуля), называют общим членом разложения и записывают в виде:

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

Эта формула позволяет находить конкретный член разложения (например, «третий член» или «член, содержащий x⁵»), не выписывая всё разложение целиком.

Пример 2: нахождение конкретного члена разложения

Условие. Найдите член разложения (2x−1)⁶, содержащий x⁴.

Решение. Общий член: Tₖ₊₁ = C₆ᵏ·(2x)⁶⁻ᵏ·(−1)ᵏ. Степень x в этом слагаемом равна (6−k); чтобы она была равна 4, нужно k=2:

$T_{3} = C_{6}^{2} \cdot {(2 x)}^{4} \cdot {(- 1)}^{2} = {15 \cdot 16 x}^{4} \cdot 1 = {240 x}^{4}$

Свойства коэффициентов разложения

Коэффициенты в разложении бинома Ньютона симметричны относительно середины (по свойству Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ): первый и последний коэффициенты равны 1, второй и предпоследний равны n, и так далее. Сумма всех биномиальных коэффициентов в разложении (a+b)ⁿ равна 2ⁿ — это следует из подстановки a=b=1 в формулу бинома:

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$

Этот факт имеет ясный комбинаторный смысл: левая часть — это число всех подмножеств n-элементного множества (по одному слагаемому на каждый размер подмножества от 0 до n), а правая часть — общее число подмножеств n-элементного множества, включая пустое и само множество, что действительно равно 2ⁿ.

Пример 3: частные случаи бинома

Полезно помнить два частных случая формулы, знакомых из курса алгебры и являющихся простейшими примерами бинома Ньютона при n=2 и n=3:

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} (п р и n = 2 : к о э ф ф и ц и е н т ы 1,2,1)$

${(a + b)}^{3} = a^{3} + {3 a}^{2} b + {3 a b}^{2} + b^{3} (п р и n = 3 : к о э ф ф и ц и е н т ы 1,3,3,1)$

Формула бинома Ньютона обобщает эти хорошо известные формулы сокращённого умножения на произвольную натуральную степень n.

Разложение разности

Формула для (a−b)ⁿ получается из основной формулы заменой b на (−b), что приводит к чередованию знаков слагаемых: слагаемые с чётным k сохраняют знак «плюс», а с нечётным k получают знак «минус»:

${(a - b)}^{n} = Σ (k = 0 . . n) {(- 1)}^{k} \cdot C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$

Типичные ошибки

Частая ошибка при разложении (a−b)ⁿ — забыть чередование знаков и записать все слагаемые с одинаковым знаком «плюс», как в разложении (a+b)ⁿ. Другая распространённая ошибка — перепутать степени a и b в общем члене разложения: важно помнить, что показатель степени a убывает от n до 0, а показатель степени b, наоборот, возрастает от 0 до n, причём их сумма всегда равна n. Также стоит быть внимательным при возведении в степень выражений вида (2x)ᵏ или (−1)ᵏ внутри общего члена — эти множители часто забывают возвести в нужную степень целиком, а не только числовой коэффициент.

Краткий словарь терминов

Бином Ньютона — формула разложения (a+b)ⁿ в сумму слагаемых вида Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ.

Биномиальный коэффициент — число Cₙᵏ, коэффициент при слагаемом aⁿ⁻ᵏbᵏ в разложении бинома.

Треугольник Паскаля — таблица биномиальных коэффициентов, где каждое число — сумма двух чисел над ним.

Общий член разложения — Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ — формула для отдельного слагаемого разложения бинома.

Заключение

Бином Ньютона обобщает формулы сокращённого умножения квадрата и куба суммы на произвольную натуральную степень n, выражая разложение через биномиальные коэффициенты — те же числа сочетаний, что встречались в комбинаторике. Треугольник Паскаля, общий член разложения и свойство суммы коэффициентов, равной 2ⁿ, — практические инструменты, регулярно применяемые для работы с этой формулой на экзамене.