Текстовые задачи: движение, работа, проценты и сплавы

Составление уравнений по условию задачи, типовые модели: движение по прямой и по воде, совместная работа, проценты и вклады

Общая схема решения текстовой задачи

Решение текстовой задачи всегда начинается не с уравнения, а с грамотного выбора неизвестных и составления математической модели ситуации, описанной в условии. Общая схема такова: 1) выбрать, что обозначить за x (обычно — искомую величину или удобную вспомогательную величину); 2) выразить через x все остальные величины, упомянутые в условии, используя известные соотношения между ними; 3) найти в условии величину, о которой известно её числовое значение или связь с другими величинами, и составить на этой основе уравнение (или систему); 4) решить полученное уравнение; 5) проверить, что найденное значение x имеет физический смысл в контексте задачи (например, время и расстояние не могут быть отрицательными), и дать ответ на вопрос задачи, а не просто указать значение x.

Задачи на движение

В задачах на равномерное движение используется базовое соотношение между расстоянием s, скоростью v и временем t:

$s=v·t$

При встречном движении скорости сближения складываются (v_сближ = v₁+v₂), при движении вдогонку — вычитаются (v_сближ = v₁−v₂, где v₁>v₂).

Пример 1: встречное движение

Условие. Расстояние между городами 300 км. Из них навстречу друг другу одновременно выехали два автомобиля и встретились через 2,5 часа. Скорость одного автомобиля на 10 км/ч больше скорости другого. Найдите скорости автомобилей.

Решение. Пусть скорость первого автомобиля x км/ч, тогда скорость второго — (x+10) км/ч. За 2,5 часа их суммарный путь равен расстоянию между городами:

$\mathrm{2,5}·\left(x+x+10\right)=300\Rightarrow \mathrm{2,5}·\left(2x+10\right)=300\Rightarrow 2x+10=120\Rightarrow x=55$

Ответ: скорости автомобилей — 55 км/ч и 65 км/ч.

Движение по воде

В задачах на движение по реке важно различать собственную скорость судна (скорость в стоячей воде) и скорость течения: при движении по течению эти скорости складываются, против течения — вычитаются:

$v_{по}\_течению=v_{собств}+v_{теч};v_{против}\_течения=v_{собств}-v_{теч}$

Пример 2: движение по реке

Условие. Катер прошёл 42 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 6 часов. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

Решение. Пусть собственная скорость катера x км/ч (x>2). Время по течению — 42/(x+2), против течения — 30/(x−2). Сумма времён равна 6 часам:

$\frac{42}{\left(x+2\right)}+\frac{30}{\left(x-2\right)}=6$

Умножим обе части на (x+2)(x−2) (это выражение не равно нулю при допустимых x>2):

$42\left(x-2\right)+30\left(x+2\right)=6\left(x+2\right)\left(x-2\right)\Rightarrow 72x-24={6x}^2-24\Rightarrow {6x}^2-72x=0\Rightarrow x\left(x-12\right)=0$

С учётом x>2 подходит только x=12.

Ответ: собственная скорость катера — 12 км/ч.

Задачи на совместную работу

В задачах на работу удобно ввести понятие производительности — доли работы, выполняемой за единицу времени. Если некто выполняет всю работу за t часов, его производительность равна 1/t (работы в час). При совместной работе нескольких исполнителей их производительности складываются.

Пример 3: совместная работа

Условие. Первый рабочий может выполнить заказ за 12 часов, а второй — за 8 часов. За сколько часов они выполнят этот заказ, работая вместе?

Решение. Производительность первого — 1/12 заказа в час, второго — 1/8. Совместная производительность:

$\frac{1}{12}+\frac{1}{8}=\frac{2}{24}+\frac{3}{24}=\frac{5}{24}$

Время совместной работы — величина, обратная совместной производительности:

$t=\frac{24}{5}=\mathrm{4,8}часа$

Пример 4: работа с неизвестным временем одного из исполнителей

Условие. Два экскаватора, работая вместе, выкопали котлован за 6 часов. Если бы первый экскаватор работал один, ему понадобилось бы на 5 часов меньше, чем второму, работающему одному. За сколько часов выкопал бы котлован первый экскаватор, работая один?

Решение. Пусть первому экскаватору нужно x часов, тогда второму — (x+5) часов. Их совместная производительность равна 1/6:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(x+5\right)}=\frac{1}{6}$

Умножим на 6x(x+5):

$6\left(x+5\right)+6x=x\left(x+5\right)\Rightarrow 12x+30=x^2+5x\Rightarrow x^2-7x-30=0\Rightarrow x=10илиx=-3$

Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи.

Ответ: первому экскаватору потребовалось бы 10 часов.

Задачи на проценты, вклады и кредиты

В задачах на проценты ключевое соотношение — величина, изменённая на p процентов, умножается на коэффициент (1±p/100). При начислении сложных процентов на вклад в течение n периодов сумма вклада растёт по показательному закону:

$S=S_0·{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$

Пример 5: сложные проценты по вкладу

Условие. Вкладчик положил в банк 20000 рублей под 10% годовых с ежегодным начислением процентов на остаток. Какая сумма будет на счёте через 3 года?

Решение. Применим формулу сложных процентов:

$S=20000·{\left(\mathrm{1,1}\right)}^3=20000·\mathrm{1,331}=26620рублей$

Пример 6: задача на процентное содержание (сплавы, смеси)

Условие. Имеется два сплава: первый содержит 10% меди, второй — 40% меди. Сколько килограммов каждого сплава нужно взять, чтобы получить 10 кг сплава, содержащего 25% меди?

Решение. Пусть первого сплава взято x кг, тогда второго — (10−x) кг. Составим уравнение баланса чистой меди:

$\mathrm{0,1}x+\mathrm{0,4}\left(10-x\right)=\mathrm{0,25}·10\Rightarrow \mathrm{0,1}x+4-\mathrm{0,4}x=\mathrm{2,5}\Rightarrow -\mathrm{0,3}x=-\mathrm{1,5}\Rightarrow x=5$

Ответ: нужно взять по 5 кг каждого сплава.

Типичные ошибки

Наиболее частая ошибка в задачах на движение и работу — не проверить знак или физическую осмысленность найденного значения (отрицательное время, скорость больше скорости течения при вычитании и т.п.). В задачах на проценты частая ошибка — прибавлять или вычитать проценты вместо умножения на соответствующий коэффициент (1±p/100), особенно при последовательном многократном изменении величины на несколько разных процентов подряд, где итоговое изменение нельзя просто сложить. В задачах на сплавы и смеси типичная ошибка — перепутать процентное содержание вещества с его абсолютным количеством при составлении уравнения баланса.

Краткий словарь терминов

Производительность — доля работы, выполняемая за единицу времени, величина, обратная времени выполнения всей работы одним исполнителем.

Формула сложных процентов — S = S₀·(1+p/100)ⁿ — сумма после n периодов начисления процентов на остаток.

Уравнение баланса — уравнение, выражающее сохранение общего количества вещества (или иной величины) при смешивании нескольких частей.

Заключение

Текстовые задачи на движение, работу, проценты и сплавы, несмотря на разнообразие сюжетов, решаются по единой схеме: выбор удобной неизвестной, выражение всех величин через неё на основе стандартных формул (путь-скорость-время, производительность, сложные проценты, баланс концентраций) и составление уравнения на основе того условия задачи, которое ещё не было использовано при введении неизвестной. Ключевая проверка на завершающем этапе — соответствие найденного решения физическому смыслу задачи.