Логарифмические неравенства

Учёт направления монотонности, метод рационализации, замена переменной, обязательный учёт ОДЗ

Основной принцип решения

Решение логарифмических неравенств, как и показательных, опирается на монотонность соответствующей функции — в данном случае логарифмической. При основании a>1 функция log_a x возрастает, и знак неравенства между выражениями под логарифмами сохраняется; при 0<a<1 функция убывает, и знак меняется на противоположный. При этом, в отличие от показательных неравенств, здесь необходимо ещё и обязательно учитывать ОДЗ — положительность выражений под каждым логарифмом.

$приa>1:{log}_{a}f\left(x\right)>{log}_{a}g\left(x\right)\iff \left\{f\left(x\right)>g\left(x\right);g\left(x\right)>0\right\}$

$при0<a<1:{log}_{a}f\left(x\right)>{log}_{a}g\left(x\right)\iff \left\{f\left(x\right)<g\left(x\right);f\left(x\right)>0\right\}$

Обратите внимание: в системе достаточно указать положительность только одного из выражений — того, что оказывается меньше по итоговому неравенству (при a>1 это g(x), а при 0<a<1 это f(x)) — положительность второго тогда следует автоматически.

Пример 1: основание больше единицы

Условие. Решите неравенство log₂(x−1) < log₂(2x−5).

Решение. Основание 2>1, знак неравенства между выражениями сохраняется, достаточно указать положительность меньшего выражения (x−1):

$\left\{x-1<2x-5;x-1>0\right\}\Rightarrow \left\{x>4;x>1\right\}\Rightarrow x>4$

Пример 2: основание меньше единицы

Условие. Решите неравенство log₀,₅(3x−1) ≥ log₀,₅(x+5).

Решение. Основание 0,5<1, знак неравенства между выражениями меняется на противоположный, требуется положительность меньшего выражения (x+5):

$\left\{3x-1\le x+5;x+5>0\right\}\Rightarrow \left\{x\le 3;x>-5\right\}\Rightarrow -5<x\le 3$

Простейшее неравенство с числом в одной части

Если в одной части неравенства стоит число, его удобно представить как логарифм того же основания, применив свойство log_a(aᵏ)=k, после чего действовать по общей схеме.

Пример 3: неравенство с числом

Условие. Решите неравенство log₃(2x+1) ≤ 2.

Решение. Представим 2 = log₃9. Основание 3>1, знак сохраняется:

$\left\{2x+1\le 9;2x+1>0\right\}\Rightarrow \left\{x\le 4;x>-\mathrm{0,5}\right\}\Rightarrow -\mathrm{0,5}<x\le 4$

Метод введения новой переменной

Так же, как и в уравнениях, при наличии логарифма в разных степенях вводят замену t=log_a x. Решив полученное алгебраическое неравенство относительно t, возвращаются к исходной переменной, решая простейшие логарифмические неравенства для каждого из полученных промежутков значений t, не забывая про ОДЗ исходного выражения.

Пример 4: неравенство с заменой переменной

Условие. Решите неравенство (lg x)² − lg x − 2 > 0.

Решение. ОДЗ: x>0. Введём t=lg x:

$t^2-t-2>0\Rightarrow \left(t-2\right)\left(t+1\right)>0\Rightarrow t<-1илиt>2$

Возвращаемся к исходной переменной:

$lgx<-1\Rightarrow 0<x<\mathrm{0,1};lgx>2\Rightarrow x>100$

Ответ: x ∈ (0; 0,1) ∪ (100; +∞).

Метод рационализации (замена множителей)

Для сложных логарифмических неравенств, особенно с переменным основанием, на экзамене часто применяют метод рационализации: он позволяет заменить разность вида log_a f − log_a g её «рационализированным» аналогом (f−g)·(a−1) того же знака, сводя логарифмическое неравенство к рациональному, которое решается методом интервалов. Этот метод существенно упрощает громоздкие неравенства с переменным основанием, но требует аккуратной записи ОДЗ и точного соблюдения формул замены, изучаемых отдельно как техническое расширение стандартного курса.

Пример 5: неравенство с переменным основанием

Условие. Решите неравенство log_x 2 < 1.

Решение. ОДЗ: x>0, x≠1. Представим 1 = log_x x и рассмотрим два случая в зависимости от того, больше или меньше единицы основание x.

$Случайx>1\left(функциявозрастает\right):2<x\Rightarrow x>2$

$Случай0<x<1\left(функцияубывает\right):2>x\Rightarrow 0<x<1\left(выполняетсявсегдавэтомслучае\right)$

Объединяя оба случая с учётом ОДЗ:

$x\in \left(0;1\right)\cup \left(2;+\infty \right)$

Алгоритм решения логарифмического неравенства

1) Записать и решить систему ОДЗ (положительность всех выражений под логарифмами, допустимость всех оснований). 2) Привести неравенство к виду, где логарифмы с одним основанием сравниваются между собой (или с числом, представленным как логарифм). 3) Определить, больше или меньше единицы основание, и в соответствии с этим выбрать направление знака неравенства между выражениями. 4) Решить полученное алгебраическое неравенство. 5) Найти пересечение решения алгебраического неравенства с ОДЗ — это и есть окончательный ответ.

Типичные ошибки

Наиболее частая и серьёзная ошибка — забыть учесть ОДЗ или учесть её неполно (только для одного из логарифмов вместо всех). Вторая по частоте ошибка — не поменять знак неравенства при основании меньше единицы, механически перенося знак так же, как при основании больше единицы. Также часто встречается ошибка при работе с неравенствами с переменным основанием — рассматривается только один из двух возможных случаев (основание больше или меньше единицы), что приводит к потере части решений.

Краткий словарь терминов

Логарифмическое неравенство — неравенство, в котором переменная содержится под знаком логарифма.

Метод рационализации — приём замены разности логарифмов рациональным выражением того же знака для сведения к рациональному неравенству.

ОДЗ логарифмического неравенства — совокупность условий положительности выражений под логарифмами и допустимости оснований, обязательная часть ответа.

Заключение

Логарифмические неравенства решаются с опорой на монотонность логарифмической функции: направление знака между выражениями сохраняется при основании больше единицы и меняется на противоположное при основании из промежутка от нуля до единицы. Ключевое отличие от показательных неравенств — обязательный учёт области допустимых значений на каждом шаге, без чего полученный ответ рискует оказаться неверным даже при правильных алгебраических преобразованиях.