Метод потенцирования, приведение к одному основанию, замена переменной, проверка ОДЗ
Что такое логарифмическое уравнение
Логарифмическим называют уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком логарифма (в основании, в выражении под логарифмом или в обоих местах сразу). Решение логарифмических уравнений всегда требует особого внимания к области допустимых значений (ОДЗ): выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительны, а основания — положительны и отличны от единицы. Именно поэтому первым шагом решения почти любого логарифмического уравнения должна быть запись системы ограничений ОДЗ, а последним — проверка найденных корней на соответствие этой системе.
Простейшее логарифмическое уравнение
Уравнение вида log_a f(x) = b (a>0, a≠1) равносильно уравнению f(x)=aᵇ (с учётом условия f(x)>0, которое при таком способе решения выполняется автоматически, поскольку aᵇ>0 при любом b):
Пример 1: простейшее уравнение
Условие. Решите уравнение log₃(2x−1) = 2.
Решение. По определению логарифма: 2x−1 = 3² = 9, откуда x=5. Поскольку при x=5 выражение 2x−1=9>0, ОДЗ выполнено.
Метод потенцирования (приведение к одному основанию)
Если уравнение имеет вид log_a f(x) = log_a g(x) (логарифмы в обеих частях с одинаковым основанием), то оно равносильно уравнению f(x)=g(x) при условии, что хотя бы одно из выражений f(x), g(x) заведомо положительно на решениях (в таком случае положительность второго обеспечивается равенством):
Пример 2: приведение к одному основанию
Условие. Решите уравнение log₅(x²−4) = log₅(3x).
Решение. Приравниваем выражения под логарифмами и добавляем условие ОДЗ (достаточно потребовать 3x>0, то есть x>0 — тогда x²−4>0 проверим отдельно после решения):
Проверка ОДЗ (x>0): корень x=−1 не подходит; корень x=4 подходит (при этом x²−4=12>0 — действительно положительно).
Ответ: x=4.
Метод введения новой переменной
Если уравнение содержит логарифм одного и того же выражения в разных степенях (например, log_a x и (log_a x)²), вводят замену t=log_a x, решают полученное алгебраическое уравнение относительно t, а затем возвращаются к исходной переменной через простейшие логарифмические уравнения — без каких-либо ограничений на знак t, поскольку логарифм может принимать любые действительные значения.
Пример 3: квадратное относительно log x
Условие. Решите уравнение (lg x)² − 3·lg x + 2 = 0.
Решение. ОДЗ: x>0. Введём t=lg x:
Оба значения положительны, удовлетворяют ОДЗ.
Приведение слагаемых к одному логарифму
Если уравнение содержит сумму или разность нескольких логарифмов, часто удобно, наоборот, свернуть их в один логарифм с помощью свойств логарифма произведения и частного, а затем воспользоваться методом потенцирования.
Пример 4: свёртывание суммы логарифмов
Условие. Решите уравнение log₂(x+1) + log₂(x−1) = 3.
Решение. ОДЗ: x+1>0 и x−1>0, то есть x>1. Свернём левую часть по свойству логарифма произведения:
С учётом ОДЗ (x>1) подходит только x=3.
Ответ: x=3. Обратите внимание: без учёта ОДЗ мы бы ошибочно включили в ответ и x=−3, при котором исходное уравнение не имеет смысла (x+1=−2<0).
Уравнения с переменным основанием
Если основание логарифма само содержит переменную (log_(f(x)) g(x) = c), необходимо дополнительно учитывать ограничения f(x)>0 и f(x)≠1. Такие уравнения часто сводят к простейшему виду через основное логарифмическое тождество или через переход к другому, фиксированному основанию.
Пример 5: уравнение с переменным основанием
Условие. Решите уравнение log_x 16 = 2.
Решение. ОДЗ: x>0, x≠1. По определению логарифма: x²=16, откуда x=4 или x=−4. С учётом ОДЗ отрицательный корень отбрасывается.
Метод логарифмирования обеих частей
Если неизвестная встречается одновременно и в показателе степени, и вне логарифма (например, в уравнениях вида x в степени log_a x = b), иногда полезно прологарифмировать обе части уравнения по подходящему основанию — этот приём переносит переменную из показателя в обычное алгебраическое выражение, после чего уравнение решается стандартными методами, часто через замену t=log_a x.
Типичные ошибки
Самая частая и самая серьёзная ошибка при решении логарифмических уравнений — забыть про ОДЗ вовсе или проверить её только «в общих чертах», не подставив найденные корни явно. Не менее частая ошибка — сворачивать разность логарифмов log_a f(x) − log_a g(x) в log_a(f(x)/g(x)) без предварительной проверки, что оба выражения f(x) и g(x) положительны по отдельности: их отношение может быть положительным даже тогда, когда оба выражения отрицательны, и в этом случае преобразование окажется неравносильным исходному уравнению.
Краткий словарь терминов
Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестная содержится под знаком логарифма.
ОДЗ логарифмического уравнения — система условий положительности всех выражений под логарифмами и допустимости всех оснований.
Метод потенцирования — приведение уравнения к виду log_a f(x)=log_a g(x) с последующим переходом к f(x)=g(x).
Заключение
Решение логарифмических уравнений опирается на определение логарифма, свойства логарифмирования и обязательный учёт области допустимых значений на каждом шаге преобразований. Основные методы — приведение к простейшему виду, потенцирование при одинаковых основаниях, введение новой переменной и свёртывание суммы или разности логарифмов в один — покрывают подавляющее большинство задач, встречающихся на экзамене, при условии аккуратной работы с ОДЗ.
