Логарифм и его свойства

Определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, логарифмическая функция

Определение логарифма

Логарифмом числа b по основанию a (a>0, a≠1, b>0) называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Обозначают log_a b. По определению:

${l o g}_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b$

Таким образом, логарифмирование — операция, обратная возведению в степень: если показательная функция превращает показатель в результат степени, то логарифм, наоборот, по результату находит показатель. Условия a>0, a≠1 совпадают с ограничениями на основание показательной функции, а условие b>0 отражает тот факт, что показательная функция всегда принимает только положительные значения.

Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма напрямую следует тождество, которым пользуются постоянно при упрощении выражений:

$a^{{l o g}_{a} b} = b (b > 0)$

Это тождество выражает то, что показательная и логарифмическая функции с одним и тем же основанием — взаимно обратные функции: одна отменяет действие другой.

Частные значения логарифма

${l o g}_{a} 1 = 0 (п о с к о л ь к у a^{0} = 1 п р и л ю б о м a)$

${l o g}_{a} a = 1 (п о с к о л ь к у a^{1} = a)$

${l o g}_{a} (a^{n}) = n (д л я л ю б о г о д е й с т в и т е л ь н о г о n)$

Основные свойства логарифмов

Пусть a>0, a≠1, x>0, y>0. Тогда справедливы следующие свойства, которые называют законами логарифмирования:

${l o g}_{a} (x \cdot y) = {l o g}_{a} x + {l o g}_{a} y (л о г а р и ф м п р о и з в е д е н и я)$

${l o g}_{a} (\frac{x}{y}) = {l o g}_{a} x - {l o g}_{a} y (л о г а р и ф м ч а с т н о г о)$

${l o g}_{a} (x^{p}) = {p \cdot l o g}_{a} x (л о г а р и ф м с т е п е н и)$

Последнее свойство — логарифм степени — особенно важно и часто используется в обе стороны: как для «вынесения» показателя степени перед знаком логарифма, так и для «внесения» числового множителя внутрь логарифма в виде показателя степени.

Формула перехода к новому основанию

Если требуется выразить логарифм по одному основанию через логарифмы по другому основанию (например, для вычисления на калькуляторе, где доступны только десятичный и натуральный логарифмы), используют формулу перехода к новому основанию:

${l o g}_{a} b = \frac{{l o g}_{c} b}{{l o g}_{c} a (д л я л ю б о г о д о п у с т и м о г о о с н о в а н и я c)}$

Частный, но очень полезный случай этой формулы — при c=b:

${l o g}_{a} b = \frac{1}{{l o g}_{b} a}$

Десятичный и натуральный логарифмы

Логарифм по основанию 10 называют десятичным и обозначают lg b (lg b = log₁₀ b); логарифм по основанию e — натуральным и обозначают ln b (ln b = log_e b). Эти два логарифма встречаются наиболее часто в прикладных задачах и имеют собственные, общепринятые обозначения, отличные от общей записи log_a b.

Пример 1: вычисление логарифма по определению

Условие. Вычислите log₂ 32.

Решение. Нужно найти показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 32. Поскольку 2⁵=32, получаем:

${l o g}_{2} 32 = 5$

Пример 2: применение свойств логарифмирования

Условие. Вычислите log₆ 4 + log₆ 9.

Решение. По свойству логарифма произведения:

${l o g}_{6} 4 + {l o g}_{6} 9 = {l o g}_{6} (4 \cdot 9) = {l o g}_{6} 36 = 2$

Пример 3: упрощение выражения с логарифмом степени

Условие. Вычислите 3·log₅ 5 − log₅ 25 + log₅ (1/125).

Решение. Заметим, что 25=5², 1/125=5⁻³. Применим свойство логарифма степени:

$3 \cdot 1 - 2 + (- 3) = 3 - 2 - 3 = - 2$

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию вида y=log_a x, где a>0, a≠1. Она обратна показательной функции y=aˣ, а потому их графики симметричны относительно прямой y=x (см. рис. 1). Область определения логарифмической функции — все положительные числа (0;+∞), область значений — все действительные числа ℝ (в точности наоборот по сравнению с показательной функцией).

Рис. 1. График логарифмической функции y=log_a x: возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1, всегда проходит через точку (1;0).

Свойства логарифмической функции

График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0), поскольку log_a 1=0 при любом допустимом основании. Монотонность зависит от основания: при a>1 функция возрастает на всей области определения, при 0<a<1 — убывает. Ось Oy (прямая x=0) служит вертикальной асимптотой графика: при приближении x к нулю справа функция стремится к плюс или минус бесконечности в зависимости от того, больше или меньше единицы основание.

Монотонность как инструмент сравнения логарифмов

Строгая монотонность логарифмической функции, как и показательной, позволяет сравнивать логарифмы без вычисления их точных значений, а также лежит в основе решения логарифмических уравнений и неравенств:

${l o g}_{a} x_{1} = {l o g}_{a} x_{2} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} (п р и x_{1} > 0, x_{2} > 0)$

Пример 4: сравнение логарифмов

Условие. Сравните log₀,₃ 5 и log₀,₃ 7.

Решение. Основание 0,3 меньше единицы, значит, логарифмическая функция с этим основанием убывающая. Поскольку 5<7, а функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение функции:

${l o g}_{0,3} 5 > {l o g}_{0,3} 7$

Область допустимых значений выражений с логарифмом

При работе с логарифмическими выражениями крайне важно постоянно контролировать область допустимых значений: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а основание логарифма — положительным и отличным от единицы. Эти условия часто накладывают дополнительные ограничения на переменную, которые легко упустить из виду при формальных преобразованиях, особенно при использовании свойства логарифма произведения или частного в направлении «объединения» нескольких логарифмов в один.

Типичные ошибки

Частая ошибка — применять свойство log_a(x·y)=log_a x+log_a y «в обратную сторону» без учёта области определения: например, равенство log_a x²=2·log_a x неверно при x<0, поскольку левая часть определена (x²>0 при x≠0), а правая — нет (log_a x не определён при отрицательном x); корректная формула в общем случае — log_a x² = 2·log_a|x|. Другая распространённая ошибка — путать log_a b (логарифм b по основанию a) с log_b a (логарифм a по основанию b) — эти два выражения, вообще говоря, различны, хотя и связаны формулой log_a b = 1/log_b a.

Краткий словарь терминов

Логарифм — log_a b — показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b (a>0, a≠1, b>0).

Основное логарифмическое тождество — a^(log_a b) = b.

Десятичный логарифм — lg b = log₁₀ b.

Натуральный логарифм — ln b = log_e b.

Логарифмическая функция — y = log_a x — функция, обратная показательной функции y=aˣ.

Заключение

Логарифм — операция, обратная возведению в степень, а логарифмическая функция y=log_a x обратна показательной функции y=aˣ, что отражается в симметрии их графиков относительно прямой y=x. Свойства логарифмов (логарифм произведения, частного, степени, формула перехода к новому основанию) — основной рабочий инструмент при упрощении логарифмических выражений и решении логарифмических уравнений и неравенств, которым посвящены следующие две статьи.