Объёмы тел вращения

Формула объёма тела, полученного вращением графика функции вокруг оси, примеры вычисления

Тело вращения

Если криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции y=f(x), осью Ox и прямыми x=a, x=b, вращать вокруг оси Ox на полный оборот (360°), получится объёмное тело — тело вращения (см. рис. 1). Такие тела часто встречаются в реальности: ваза, бокал, деталь на токарном станке, купол — всё это, по сути, тела вращения, форму которых задаёт образующая кривая.

Идея вывода формулы

Разобьём отрезок [a;b], как и при выводе формулы площади, на узкие полоски. Вращение каждой узкой полоски криволинейной трапеции порождает приближённо цилиндр небольшой высоты Δx и радиусом основания f(x) — объём такого тонкого цилиндра равен π·f(x)²·Δx. Суммируя объёмы всех таких тонких цилиндрических «шайб» и переходя к пределу при неограниченном измельчении разбиения, получаем определённый интеграл. Отсюда — формула объёма тела вращения вокруг оси Ox:

$V=\pi ·{\int }_a^{b}f{\left(x\right)}^{2}dx$

Аналогичная формула действует при вращении вокруг оси Oy: если фигура задана как x=φ(y) на отрезке [c;d] по оси Oy, то V = π·∫_c^d φ(y)²dy.

Алгоритм вычисления объёма тела вращения

1) Определить функцию f(x), график которой образует тело при вращении, и границы отрезка [a;b] (часто их нужно найти из условия — например, как точки пересечения с осью Ox или с другой кривой). 2) Возвести функцию в квадрат: получить f(x)². 3) Составить и вычислить определённый интеграл ∫ₐᵇf(x)²dx по формуле Ньютона — Лейбница. 4) Умножить результат на π.

Пример 1: объём конуса

Выведем известную формулу объёма конуса с помощью интеграла и убедимся, что она совпадает с формулой из курса стереометрии. Условие. Прямая y=(R/h)·x, где R — радиус основания, h — высота, вращается вокруг оси Ox на отрезке [0; h]. Найдите объём полученного тела.

Решение. По формуле объёма тела вращения:

$V=\pi ·{\int }_0^h{\left(\frac{R}{h·x}\right)}^{2}dx=\frac{{\pi ·R}^2}{h^2·{\int }_0^h{x}^{2}dx}=\frac{{\pi ·R}^2}{h^2·{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^h}=\frac{\frac{{\pi ·R}^2}{h^2·h^3}}{3}$

$V=\left(\frac{1}{3}\right){·\pi ·R}^2·h$

Это в точности формула объёма конуса, известная из стереометрии, — интегральный подход не только вычисляет конкретные объёмы, но и позволяет вывести общие геометрические формулы.

Пример 2: объём шара

Условие. Полуокружность y=√(R²−x²) на отрезке [−R;R] вращается вокруг оси Ox. Найдите объём полученного тела.

Решение. Возведём функцию в квадрат: y²=R²−x². Составим интеграл:

$V=\pi ·{\int }_{-}^{RR}\left(R^2-x^2\right)dx=\pi ·{\left[R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-}^{RR}$

Вычислим значения на концах:

$приx=R:R^3-\frac{R^3}{3}=\frac{{2R}^3}{3};приx=-R:-R^3+\frac{R^3}{3}=-\frac{{2R}^3}{3}$

$V=\pi ·\left(\frac{{2R}^3}{3}-\left(-\frac{{2R}^3}{3}\right)\right)=\frac{{\pi ·4R}^3}{3}=\left(\frac{4}{3}\right){\pi R}^3$

Снова получили известную формулу — объём шара радиуса R. Такой вывод — хорошая демонстрация того, что формулы объёмов тел вращения, изучаемые в стереометрии как данность, на самом деле являются следствиями общей интегральной формулы.

Пример 3: объём тела, ограниченного параболой

Условие. Найдите объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной графиком y=√x, осью Ox и прямой x=4.

Решение. Возведём функцию в квадрат: y²=x. Пределы интегрирования — от 0 до 4:

$V=\pi ·{\int }_0^{4}xdx=\pi ·{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=\pi ·\left(\frac{16}{2}-0\right)=8\pi$

Объём тела между двумя кривыми

Если тело получено вращением фигуры, заключённой между графиками f(x) и g(x) (f(x) ≥ g(x) ≥ 0), вокруг оси Ox, его объём находят как разность объёмов «внешнего» и «внутреннего» тел вращения:

$V=\pi ·{\int }_a^b\left[f{\left(x\right)}^2-g{\left(x\right)}^2\right]dx$

Обратите внимание: под интегралом стоит разность квадратов функций, а не квадрат разности — эта тонкость часто становится источником ошибок.

Пример 4: объём тела между графиком и вертикальной полосой при вращении вокруг Oy

Условие. Фигура, ограниченная линиями y=x² (0≤x≤2) и осью Oy, вращается вокруг оси Oy. Найдите объём полученного тела.

Решение. Выразим x через y: x=√y, где y меняется от 0 до 4 (поскольку при x=2, y=4). Применим формулу вращения вокруг Oy:

$V=\pi ·{\int }_0^4{\left(\sqrt{y}\right)}^{2}dy=\pi ·{\int }_0^{4}ydy=\pi ·{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^4=\pi ·8=8\pi$

Практическое применение

Формула объёма тела вращения используется не только в чистой математике: инженеры применяют её для расчёта объёма деталей, изготавливаемых на токарном станке (где заготовка действительно вращается вокруг своей оси, а резец придаёт ей форму, соответствующую некоторой образующей кривой), архитекторы — для расчёта объёма куполов и колонн, а дизайнеры сосудов — для расчёта вместимости бутылок и ваз сложной формы по их профилю.

Типичные ошибки

Самая частая ошибка при вычислении объёма фигуры между двумя кривыми — использовать (f(x)−g(x))² вместо правильного f(x)²−g(x)². Это принципиально разные выражения: они совпадают только при g(x)=0. Ещё одна ошибка — забыть возвести подынтегральную функцию в квадрат при использовании формулы V=π∫f(x)²dx, по невнимательности интегрируя саму f(x).

Краткий словарь терминов

Тело вращения — объёмное тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси.

Формула объёма тела вращения — V = π·∫ₐᵇ f(x)²dx — объём тела, полученного вращением графика y=f(x) вокруг оси Ox.

Образующая — кривая (график функции), вращение которой порождает поверхность тела вращения.

Заключение

Формула V=π·∫ₐᵇf(x)²dx сводит вычисление объёма тела вращения к определённому интегралу от квадрата функции. С её помощью не только решаются конкретные задачи, но и выводятся классические формулы объёмов конуса, шара и других тел вращения, изучаемых в курсе стереометрии, — интегральное исчисление и геометрия здесь напрямую связаны друг с другом.