Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

Площадь криволинейной трапеции и площадь фигуры между двумя графиками

От площади трапеции к произвольным фигурам

В предыдущей статье было показано, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком неотрицательной функции, осью Ox и прямыми x=a, x=b, равна определённому интегралу ∫ₐᵇf(x)dx. Этот результат обобщается на куда более широкий класс плоских фигур — в частности, на фигуры, ограниченные двумя графиками функций.

Площадь фигуры между двумя графиками

Пусть на отрезке [a; b] функция f(x) не меньше функции g(x): f(x) ≥ g(x). Тогда площадь фигуры, заключённой между графиками этих функций (см. рис. 1), находят по формуле:

$S={\int }_a^b\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

Идея формулы проста: из площади «верхней» криволинейной трапеции (под графиком f) вычитается площадь «нижней» криволинейной трапеции (под графиком g), а благодаря свойству аддитивности интегралов эту разность можно вычислить одним интегралом от разности функций, даже если сами f и g принимают отрицательные значения (главное, чтобы f(x) ≥ g(x) на всём промежутке).

Алгоритм решения задачи на площадь фигуры

1) Построить (хотя бы схематично) графики данных функций, чтобы понять, какая из них «верхняя», а какая «нижняя» на нужном промежутке. 2) Найти абсциссы точек пересечения графиков — они, как правило, задают пределы интегрирования a и b (если границы не даны в условии явно). 3) Составить интеграл разности «верхней» функции минус «нижняя». 4) Вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона — Лейбница.

Пример 1: площадь между параболой и осью Ox

Условие. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 4 − x² и осью Ox.

Решение. Найдём точки пересечения параболы с осью Ox — это решения уравнения 4−x²=0, то есть x=−2 и x=2. На этом промежутке парабола расположена не ниже оси Ox (ветви направлены вниз, значения неотрицательны), поэтому:

$S={\int }_{-2}^2\left(4-x^2\right)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2$

Вычислим значения на концах:

$приx=2:8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3};приx=-2:-8+\frac{8}{3}=-\frac{16}{3}$

$S=\frac{16}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{32}{3}$

Пример 2: площадь между двумя параболами

Условие. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=−x²+2x+2 и y=x.

Решение. Найдём точки пересечения, приравняв функции:

$-x^2+2x+2=x\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1илиx=2$

Проверим, какая функция «верхняя» на промежутке [−1;2], например, подставив x=0: f(0)=2, g(0)=0 — значит, f(x)=−x²+2x+2 расположена выше. Площадь:

$S={\int }_{-1}^2\left[\left(-x^2+2x+2\right)-x\right]dx={\int }_{-1}^2\left(-x^2+x+2\right)dx$

Найдём первообразную: F(x) = −x³/3 + x²/2 + 2x. Вычислим:

$F\left(2\right)=-\frac{8}{3}+2+4=\frac{10}{3};F\left(-1\right)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2=-\frac{7}{6}$

$S=\frac{10}{3}-\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\mathrm{4,5}$

Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу разными участками

Если на промежутке [a;b] графики функций пересекаются во внутренней точке c (то есть на [a;c] одна функция «верхняя», а на [c;b] — другая), то площадь считают отдельно на каждом из промежутков и результаты складывают:

$S={\int }_a^c\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+{\int }^{cb}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$

Именно поэтому первый шаг алгоритма — построение эскиза графиков — так важен: без него легко ошибиться, какая функция больше на каждом из промежутков, и получить отрицательную (то есть заведомо неверную) площадь.

Площадь фигуры, заданной относительно оси Oy

Иногда удобнее выразить границы фигуры как функции от y (x=φ(y)) и вычислить площадь интегрированием по y — например, если фигура ограничена «боковыми» кривыми, а не сверху и снизу. Формула аналогична: S = ∫_c^d [φ₂(y) − φ₁(y)]dy, где φ₂(y) ≥ φ₁(y) на отрезке [c;d] значений y.

Пример 3: площадь с использованием симметрии

Условие. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x² и y=2−x².

Решение. Найдём точки пересечения: x²=2−x² ⇒ 2x²=2 ⇒ x=±1. На промежутке [−1;1] функция y=2−x² больше (например, при x=0: 2>0). Площадь:

$S={\int }_{-1}^1\left[\left(2-x^2\right)-x^2\right]dx={\int }_{-1}^1\left(2-{2x}^2\right)dx$

Поскольку подынтегральная функция чётная, а промежуток симметричен относительно нуля, можно вычислить вдвое быстрее: S = 2·∫₀¹(2−2x²)dx = 2·[2x−2x³/3]₀¹ = 2·(2−2/3) = 2·4/3 = 8/3.

Площадь и модуль функции

Если требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции, которая меняет знак на отрезке [a;b], а также осью Ox, нужно быть внимательным: формула ∫ₐᵇf(x)dx в этом случае даст не площадь, а алгебраическую сумму площадей (с учётом знака). Чтобы получить именно площадь фигуры (всегда положительную величину), нужно либо разбить отрезок на части, где функция сохраняет знак, и на участках, где f(x)<0, брать интеграл со знаком «минус», либо сразу записать S=∫ₐᵇ|f(x)|dx.

Типичные ошибки

Наиболее частая ошибка — интегрировать не разность функций, а каждую по отдельности без вычитания, либо перепутать порядок вычитания (взять «нижнюю» минус «верхняя»), что даёт отрицательный результат. Площадь — всегда неотрицательная величина, и если в ответе получилось отрицательное число, это сигнал вернуться и проверить, какая из функций действительно больше на рассматриваемом промежутке.

Краткий словарь терминов

Площадь фигуры между графиками — S = ∫ₐᵇ[f(x)−g(x)]dx, где f(x)≥g(x) на отрезке [a;b].

Точки пересечения графиков — абсциссы, в которых значения двух функций совпадают; часто служат пределами интегрирования.

Заключение

Формула S = ∫ₐᵇ[f(x)−g(x)]dx обобщает понятие площади криволинейной трапеции на фигуры, ограниченные двумя графиками. Ключевые шаги решения — построить эскиз фигуры, найти точки пересечения границ (они задают пределы интегрирования) и определить, какая функция «верхняя», а какая «нижняя», после чего задача сводится к вычислению определённого интеграла по формуле Ньютона — Лейбница.