Уравнение касательной к графику функции

Вывод формулы, алгоритм составления уравнения касательной и разобранные примеры

Напоминание: что такое касательная

Как было показано в статье о производной, касательная к графику функции y=f(x) в точке M(x₀; f(x₀)) — это предельное положение секущей, проходящей через M и близкую к ней точку графика. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания: k = f'(x₀).

Вывод уравнения касательной

Уравнение любой прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку (x₀; y₀), имеет вид y = y₀ + k(x − x₀). Подставляя y₀=f(x₀) и k=f'(x₀), получаем уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x₀:

$y=f\left(x_0\right)+f\text{'}\left(x_0\right)·\left(x-x_0\right)$

Это одна из самых часто используемых формул курса: она связывает значение функции, значение её производной и координаты точки касания в единое уравнение прямой.

Алгоритм составления уравнения касательной

Чтобы составить уравнение касательной к графику y=f(x) в точке x₀, нужно выполнить четыре шага: 1) вычислить f(x₀) — значение функции в точке касания; 2) найти производную f'(x) и вычислить f'(x₀) — угловой коэффициент; 3) подставить найденные значения в формулу y = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀); 4) при необходимости раскрыть скобки и привести уравнение к виду y = kx + b.

Пример 1: касательная в заданной точке

Условие. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ − 3x в точке x₀ = 1,5 (см. рис. 1).

Решение. Вычислим значение функции в точке касания:

$f\left(\mathrm{1,5}\right)={\mathrm{1,5}}^3-3·\mathrm{1,5}=\mathrm{3,375}-\mathrm{4,5}=-\mathrm{1,125}$

Найдём производную и её значение в точке касания:

$f\text{'}\left(x\right)={3x}^2-3;f\text{'}\left(\mathrm{1,5}\right)=3·\mathrm{2,25}-3=\mathrm{3,75}$

Подставим в формулу уравнения касательной:

$y=-\mathrm{1,125}+\mathrm{3,75}·\left(x-\mathrm{1,5}\right)=\mathrm{3,75}x-\mathrm{6,75}$

Пример 2: касательная, проходящая через точку вне графика

Более сложный тип задачи: найти уравнение касательной, проходящей через заданную точку, которая на графике функции не лежит. Здесь x₀ (абсцисса точки касания) неизвестна и её нужно найти из дополнительного условия.

Условие. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = x², проходящей через точку A(1; −3), не принадлежащую графику.

Решение. Пусть x₀ — абсцисса (пока неизвестной) точки касания. Уравнение касательной в общем виде:

$y=x_0^2+{2x}_0·\left(x-x_0\right)={2x}_0·x-x_0^2$

Поскольку касательная должна проходить через точку A(1; −3), подставим x=1, y=−3 в это уравнение и найдём x₀:

$-3={2x}_0·1-x_0^2\Rightarrow x_0^2-{2x}_0-3=0\Rightarrow x_0=3илиx_0=-1$

Получилось два значения x₀ — значит, через точку A проходят две различные касательные к параболе. Подставим каждое значение в уравнение касательной:

$приx_0=3:y=6x-9;приx_0=-1:y=-2x-1$

Обе прямые проходят через точку A(1; −3) — легко проверить подстановкой: 6·1−9=−3 и −2·1−1=−3.

Уравнение нормали

Прямую, проходящую через точку касания перпендикулярно касательной, называют нормалью к графику функции в этой точке. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением k₁·k₂ = −1, угловой коэффициент нормали равен −1/f'(x₀) (при условии f'(x₀)≠0), и уравнение нормали имеет вид:

$y=f\left(x_0\right)-\left(\frac{1}{f\text{'}\left(x_0\right)}\right)·\left(x-x_0\right)$

Пример. Составьте уравнение нормали к графику f(x)=x² в точке x₀=1. Здесь f(1)=1, f'(x)=2x, f'(1)=2, поэтому уравнение нормали: y = 1 − (1/2)(x−1) = −0,5x + 1,5.

Угол между двумя кривыми

Угол между двумя кривыми в точке их пересечения определяют как угол между касательными к этим кривым, проведёнными в этой точке. Если угловые коэффициенты касательных равны k₁ и k₂, угол φ между ними находят по формуле для угла между прямыми:

$tg\phi =\left|\frac{\left(k_1-k_2\right)}{\left(1+k_1{·k}_2\right)}\right|$

В частности, если k₁·k₂ = −1, кривые пересекаются под прямым углом (ортогонально).

Угол между касательной и осью Ox

Поскольку угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла её наклона к положительному направлению оси Ox, справедливо равенство k = f'(x₀) = tg α. Это позволяет по значению производной находить угол наклона касательной (и наоборот — по заданному углу находить точки, в которых касательная имеет такой наклон, решая уравнение f'(x)=tg α).

Условие параллельности и перпендикулярности касательных

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Поэтому касательная к графику f(x) в точке x₀ параллельна прямой y=kx+b тогда и только тогда, когда f'(x₀)=k — это часто встречающийся тип задачи: «найдите точки графика, в которых касательная параллельна данной прямой», решаемый как уравнение f'(x)=k относительно x.

Пример на параллельность касательной и прямой

Условие. В какой точке графика функции f(x)=x²−4x+5 касательная параллельна прямой y=2x−3?

Решение. Угловой коэффициент данной прямой равен 2. Касательная параллельна ей там, где f'(x)=2:

$f\text{'}\left(x\right)=2x-4=2\Rightarrow x=3$

Найдём ординату точки касания: f(3)=9−12+5=2. Значит, искомая точка — (3; 2), а уравнение касательной в ней: y = 2 + 2(x−3) = 2x − 4.

Типичные ошибки

Частая ошибка — путать точку касания с произвольной точкой на прямой: в формуле y=f(x₀)+f'(x₀)(x−x₀) значение x₀ обязательно должно быть абсциссой именно той точки графика, где производится касание, а не любой точки, через которую проходит касательная (как показано в примере 2, если точка не лежит на графике, x₀ нужно находить отдельно, решая дополнительное уравнение). Другая ошибка — забывать, что уравнение касательной линейно только по x, а f(x₀) и f'(x₀) — это конкретные числа, а не переменные.

Краткий словарь терминов

Точка касания — точка графика функции, в которой к нему проведена касательная.

Уравнение касательной — y = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀) — уравнение прямой, касающейся графика функции в точке x₀.

Угловой коэффициент касательной — значение производной функции в точке касания, k=f'(x₀).

Заключение

Уравнение касательной y = f(x₀) + f'(x₀)(x−x₀) объединяет значение функции и значение её производной в точке. Для составления уравнения достаточно найти f(x₀) и f'(x₀) и подставить их в формулу; более сложные задачи (касательная через внешнюю точку, касательная, параллельная данной прямой) сводятся к дополнительному уравнению относительно неизвестной абсциссы точки касания x₀.