Линзы. Построение изображений

Собирающие и рассеивающие линзы, формула тонкой линзы, построение изображений, оптическая сила

Понятие линзы

Линзой называют прозрачное тело, ограниченное двумя криволинейными (как правило, сферическими) поверхностями, преломляющими свет. Тонкой называют линзу, толщина которой значительно меньше радиусов кривизны её поверхностей и расстояний до предметов и изображений — именно такие линзы рассматриваются в школьном курсе. Прямую, проходящую через центры кривизны обеих поверхностей линзы, называют главной оптической осью.

Собирающие и рассеивающие линзы

Собирающей называют линзу, которая параллельный пучок лучей, падающих вдоль главной оптической оси, преобразует в пучок, сходящийся в одной точке — главном фокусе F. Собирающие линзы, как правило, толще в середине, чем по краям (двояковыпуклые, плосковыпуклые). Рассеивающей называют линзу, которая параллельный пучок лучей превращает в расходящийся пучок, как будто исходящий из мнимого фокуса перед линзой; такие линзы обычно тоньше в середине, чем по краям (двояковогнутые, плосковогнутые).

Расстояние от оптического центра линзы до её фокуса называют фокусным расстоянием F. Для собирающей линзы фокусное расстояние считают положительным, для рассеивающей — отрицательным.

Оптическая сила линзы

Оптической силой линзы называют величину, обратную фокусному расстоянию:

$D = \frac{1}{F}$

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр): линза с фокусным расстоянием 1 м имеет оптическую силу 1 дптр. Чем больше по модулю оптическая сила, тем сильнее линза преломляет (собирает или рассеивает) свет, то есть тем короче её фокусное расстояние.

Основные лучи для построения изображения

Для построения изображения точки предмета в тонкой линзе достаточно провести два из трёх «удобных» лучей, ход которых заранее известен: 1) луч, идущий через оптический центр линзы, не изменяет своего направления; 2) луч, падающий на линзу параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через главный фокус (для собирающей линзы) или его продолжение проходит через мнимый фокус (для рассеивающей); 3) луч, падающий через передний фокус линзы (или направленный на него), после преломления идёт параллельно главной оптической оси.

Построение изображения в собирающей линзе

Характер изображения в собирающей линзе существенно зависит от расстояния d от предмета до линзы по отношению к фокусному расстоянию F. Если предмет находится далеко от линзы (d>2F), изображение получается действительным, перевёрнутым и уменьшенным (см. рис. 1) — именно такой случай реализуется, например, в объективе фотоаппарата. При F<d<2F изображение действительное, перевёрнутое, увеличенное; при d<F (предмет ближе фокуса) изображение становится мнимым, прямым и увеличенным — так работает лупа.

Построение изображения в рассеивающей линзе

В отличие от собирающей линзы, рассеивающая линза всегда (при любом расстоянии от предмета) даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение, расположенное между линзой и её фокусом со стороны предмета (см. рис. 2). Это свойство рассеивающих линз (единый характер изображения независимо от положения предмета) — важное отличие от собирающих линз, для которых характер изображения существенно зависит от расстояния до предмета.

Формула тонкой линзы

Связь между расстоянием от предмета до линзы d, расстоянием от линзы до изображения f и фокусным расстоянием F выражается формулой тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}$

При использовании этой формулы принято следующее правило знаков: F>0 для собирающей линзы и F<0 для рассеивающей; f>0, если изображение действительное (расположено по другую сторону линзы от предмета), и f<0, если изображение мнимое (расположено по ту же сторону, что и предмет).

Пример 1: нахождение расстояния до изображения

Условие. Предмет расположен на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Найдите расстояние от линзы до изображения и определите его характер.

Решение. Из формулы линзы выразим f:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3}{60} - \frac{2}{60} = \frac{1}{60} \Rightarrow f = 60 с м$

Поскольку f>0, изображение действительное. Поскольку d=30 см находится в промежутке между F=20 см и 2F=40 см, изображение увеличенное и перевёрнутое.

Линейное увеличение линзы

Линейным увеличением Γ линзы называют отношение высоты изображения H к высоте предмета h, которое можно найти также как отношение расстояний от линзы до изображения и до предмета:

$Γ = \frac{H}{h} = \frac{f}{d}$

Пример 2: увеличение линзы

Условие. Используя данные примера 1, найдите линейное увеличение линзы и высоту изображения предмета высотой 5 см.

Решение.

$Γ = \frac{f}{d} = \frac{60}{30} = 2$

$H = Γ \cdot h = 2 \cdot 5 = 10 с м$

Пример 3: определение фокусного расстояния рассеивающей линзы

Условие. Предмет находится на расстоянии 40 см от рассеивающей линзы, а его мнимое изображение — на расстоянии 16 см от линзы (с той же стороны, что и предмет). Найдите фокусное расстояние линзы.

Решение. Поскольку изображение мнимое, f=−16 см (с учётом правила знаков):

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{40} + \frac{1}{(- 16)} = 0,025 - 0,0625 = - 0,0375 \Rightarrow F = \frac{1}{(- 0,0375)} \approx - 26,7 с м$

Отрицательное значение F подтверждает, что линза рассеивающая, как и было указано в условии.

Оптическая сила системы линз

При использовании нескольких тонких линз, расположенных вплотную друг к другу (или на малом расстоянии, которым можно пренебречь), общая оптическая сила системы равна алгебраической сумме оптических сил отдельных линз:

$D_{о б щ} = D_{1} + D_{2} + \dots$

Это свойство активно используется при подборе очков (комбинировании линз для коррекции сложных нарушений зрения) и в устройстве сложных оптических приборов, рассматриваемых в следующей статье.

Типичные ошибки

Частая ошибка — путать правило знаков для расстояния до изображения f: положительное значение соответствует действительному изображению, а не просто «положительному» расстоянию в бытовом смысле. Другая ошибка — считать, что рассеивающая линза может при каких-то условиях дать действительное изображение; в действительности изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое. Также распространена ошибка при построении хода лучей — забывать, что луч через оптический центр линзы не преломляется вовсе, тогда как остальные лучи обязательно меняют направление при пересечении линзы.

Краткий словарь терминов

Собирающая линза — линза, преобразующая параллельный пучок в сходящийся в главном фокусе.

Рассеивающая линза — линза, преобразующая параллельный пучок в расходящийся, всегда даёт мнимое уменьшенное изображение.

Формула тонкой линзы — 1/F = 1/d + 1/f, связывающая фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения.

Оптическая сила — D=1/F, измеряется в диоптриях.

Заключение

Линзы, преобразующие световые пучки за счёт преломления на криволинейных поверхностях, разделяются на собирающие и рассеивающие, а формула тонкой линзы 1/F=1/d+1/f вместе с правилом знаков позволяет количественно рассчитывать расстояние до изображения и его характер (действительное или мнимое, увеличенное или уменьшенное). Эти закономерности лежат в основе устройства практически всех оптических приборов, включая человеческий глаз, микроскоп и телескоп, которые будут рассмотрены в следующей статье.